Question

Вычислить интеграл: ∫dx/√4х^2-9​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4x^2-9}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x)^2-9}}=\Big[\ u=2x\ ,\ du=2\, dx\ \Big]=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u^2-9}}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, u+\sqrt{u^2-9}\, \Big|+C=\frac{1}{2}\cdot ln\Big|2x+\sqrt{4x^2-9}\, \Big|+C$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, давайте воспользуемся заменой переменной. Положим $u = 2x$, тогда $du/dx = 2$ или $dx = du/2$. Также, заметим, что $\sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{u^2 - 9}$.

Теперь подставим эти замены в интеграл:

$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 - 9}} = \int \frac{du/2}{\sqrt{u^2 - 9}}$

Сделаем еще одну замену: $v = \frac{u}{3}$, тогда $dv/du = 1/3$ или $du = 3dv$. Также, $\sqrt{u^2 - 9} = \sqrt{9v^2 - 9} = 3\sqrt{v^2 - 1}$.

Теперь интеграл принимает вид:

$\int \frac{du/2}{\sqrt{u^2 - 9}} = \int \frac{3dv}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{v^2 - 1}}$

Сокращаем множители и упрощаем:

$\frac{1}{2} \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 - 1}}$

Этот интеграл представляет собой интеграл от арксеканса:

$\frac{1}{2} \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 - 1}} = \frac{1}{2} \text{arcsec}(v) + C$

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

$\frac{1}{2} \text{arcsec}\left(\frac{u}{3}\right) + C$

и подставляем обратно выражение для $u$:

$\frac{1}{2} \text{arcsec}\left(\frac{2x}{3}\right) + C$

где $C$ - константа интегрирования.