Question

Решите однородное уравнение cos^2x − 5sinx cosx − 24sin^2x = 0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

cos²x - 5sinx*cosx - 24sin²x = 0

Разделим обе части уравнения на cos²x, наложив условие, что

cos x ≠ 0

1 - 5 tgx - 24 tg²x = 0

24 tg²x + 5 tgx - 1 = 0

tg x = t

24 t²  + 5 t - 1 = 0

D = 5² + 4 * 24 * 1 = 121

t₁ = (-5 + 11) / 48 = 1 / 8

t₂ = (-5 - 11) / 48 = - 1 / 3

tg x₁ = 1 / 8

x₁ = arctg 1/8 + πk, k ∈ Z

tg x₂ = - 1 / 3

x₂ = -arctg 1/3 + πk, k ∈ Z

Answer 2

разделим обе части на sin²x≠0, иначе и косинус равен нулю, но это не так.

ctg²x-5ctgx-24=0

по Виету ctgx=8;⇒x=arcсtg8+πn; n∈Z; сtgx=-3⇒x=arcсtg(-3)+πn; n∈Z ;

x=π-arcсtg3+πn; n∈Z ;

Answer 3

Для решения данного однородного уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества для функций синуса и косинуса. Давайте рассмотрим уравнение:

cos^2(x) - 5sin(x)cos(x) - 24sin^2(x) = 0

Сначала заметим, что можно представить cos^2(x) и sin^2(x) в терминах одной из них, используя тождество:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь подставим это выражение в уравнение:

(1 - sin^2(x)) - 5sin(x)cos(x) - 24sin^2(x) = 0

Теперь заметим, что sin(x)cos(x) можно представить через sin(2x) с использованием соответствующего тригонометрического тождества:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

(1 - sin^2(x)) - 5(1/2)sin(2x) - 24sin^2(x) = 0

Упростим уравнение:

1 - sin^2(x) - (5/2)sin(2x) - 24sin^2(x) = 0

Теперь объединим члены, содержащие sin(x):

1 - 25/2sin^2(x) - (5/2)sin(2x) = 0

Теперь можно выразить sin(2x) через sin(x) и cos(x) (помним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x)):

1 - 25/2sin^2(x) - (5/2)(2sin(x)cos(x)) = 0

1 - 25/2sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте представим его в стандартной форме:

25/2sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь можно решить это уравнение относительно sin(x). Выразим sin(x) через cos(x) с помощью соответствующего тригонометрического тождества (sin(x) = √(1 - cos^2(x))):

25/2(1 - cos^2(x)) + 5cos(x)√(1 - cos^2(x)) - 1 = 0

Теперь это уравнение относительно cos(x). Пусть z = cos(x), тогда у нас есть:

25/2(1 - z^2) + 5z√(1 - z^2) - 1 = 0

Теперь решим это уравнение относительно z (cos(x)).

25(1 - z^2) + 10z√(1 - z^2) - 2 = 0

Раскроем скобки:

25 - 25z^2 + 10z√(1 - z^2) - 2 = 0

Переносим все члены на одну сторону:

-25z^2 + 10z√(1 - z^2) + 23 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z. Решим его сначала относительно √(1 - z^2), обозначив это как y:

-25z^2 + 10zy + 23 = 0

Попробуем решить это уравнение относительно y:

10zy = 25z^2 - 23

y = (25z^2 - 23) / (10z)

y = (5z^2 - 23/10) / 2z

Теперь вернемся к нашему уравнению для sin(x), используя полученное значение y:

sin(x) = √(1 - cos^2(x)) = √(1 - z^2) = √(1 - (5z^2 - 23/10) / 2z^2)

Теперь у нас есть выражение для sin(x) через z. Мы можем подставить z обратно как cos(x):

sin(x) = √(1 - (5cos^2(x) - 23/10) / 2cos^2(x))

Теперь у нас есть выражение для sin(x) через cos(x), и это уравнение можно решить относительно cos(x). Это сложное уравнение, и для нахождения точных значений потребуется использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение.