Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! помогите, пожалуйста!! 1. найти длину промежутка убывания функции y = x^2-10ln(x-4)+2 2. вычислить y''xx при t=1/2 если x=t^2 y=t^3+t 3. вычислить y' в точке A(2;3) если y^2-2xy-3=0 4. Вычислить z''xy в точке (1;1) если z=e^xy

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) y'=2*x-10/(x-4)=(2*x²-8*x-10)/(x-4)=2*(x+1)*(x-5)/(x-4). Из уравнения y'=0 находим две критические точки x1=-1 и x1=5. Но так как выражение ln(x-4) определено только при x>4, то и y' мы можем рассматривать лишь при x>4. На интервале (4;∞) имеется лишь одна критическая точка x=5. Если x∈(4;5), то y'<0, поэтому на этом интервале функция убывает. Если x∈(5;∞), то y'>0, поэтому на этом интервале функция возрастает. Поэтому длина промежутка убывания функции неограниченно приближается к числу 5-4=1, оставаясь при этом меньшей, чем 1. Иначе говоря, длина промежутка убывания имеет предел справа, равный 1.

2) y"(x)=[y"(t)*x'(t)-x"(t)*y'(t)]/[x'(t)]³. Так как x'(t)=2*t, x"(t)=2, y'(t)=3*t²+1, y"(t)=6*t, то при t=1/2 x'(1/2)=1, x"(1/2)=2, y'(1/2)=7/4, y"(1/2)=3. Отсюда y"(x)=(3*1-2*7/4)/1³=-0,5.

3. Дифференцируя данную неявную функцию по x и учитывая при этом, что y=f(x), получаем: 2*y*y'-2*y-2*x*y'=0. Отсюда y'=2*y/(2*y-2*x)=y/(y-x). Если y=3 и x=2 (точка А), то y'=3/(3-2)=3.

4. z'x=y*e^(x*y), z"xy=e^(x*y)+x*y*e^(x*y). Тогда при x=1 и y=1 z*xy=e^(1*1)+1*1*e^(1*1)=2*e.  

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по очереди:

1. Найти длину промежутка убывания функции $y = x^2 - 10\ln(x-4) + 2$

Для нахождения промежутка убывания функции нужно найти интервалы, на которых производная $y'$ отрицательна. Сначала найдем $y'$:

$y' = 2x - \frac{10}{x-4}$

Теперь найдем точки, где $y' = 0$ или не существует:

$2x - \frac{10}{x-4} = 0$

Решив уравнение, найдем значения $x$, а затем проверим знаки производной между полученными значениями и вне этого интервала.

2. Вычислить $y''_{xx}$ при $t=\frac{1}{2}$, если $x=t^2$, $y=t^3+t$

Сначала найдем $y'$ и $y''$ по цепному правилу:

$y' = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$

$y'' = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\right)$

Подставим значения $x=t^2$ и $y=t^3+t$ и вычислим в точке $t=\frac{1}{2}$.

3. Вычислить $y'$ в точке $A(2,3)$, если $y^2 - 2xy - 3 = 0$

Для этого найдем $y'$ и подставим значения $x=2$ и $y=3$.

4. Вычислить $z''_{xy}$ в точке (1,1), если $z=e^{xy}$

Сначала найдем частные производные по $x$ и $y$, а затем найдем вторые производные и подставим значения $x=1$ и $y=1$.

Для более подробного ответа по каждому пункту, мне нужны конкретные вычисления и результаты. Если у вас есть какие-то конкретные значения $x$, $y$, или $t$, уточните их, чтобы я мог предоставить более точные вычисления.