Question

Найти решение задачи Коши y'+2y/x=1/x^2, y(2)=1

Answer 1

Ответ:

метод Эйлера

$y ' + \frac{2}{x} y = \frac{1}{ {x}^{2} }$

найдём μ(x)

$μ(x) = {e}^{ ∫\frac{2}{x}dx } = {e}^{2lnx} = {e}^{ln {x}^{2} } = {x}^{2}$

теперь нужно умножить это уравнение на найденный множитель μ(x)=х²

${x}^{2} y ' + 2xy = 1 \\ ( y{x}^{2} ) ' = 1 \\ y {x}^{2} = ∫1dx \\ y {x}^{2} = x + С \\ y = \frac{x +С }{ {x}^{2} }$

теперь используем то что у(2)=1 чтобы найти С

$1 = \frac{2 +С }{ {2}^{2} } \\ 4 = 2 + С \\ С = 2$

теперь запишем ответ с известной константой

$y = \frac{x + 2}{ {x}^{2} }$

(решения методом Бернулли на фото)

Answer 2

Для решения этой задачи Коши используем метод вариации постоянной.

Исходное уравнение Коши:

y' + (2y/x) = 1/x^2

Сначала найдем общее решение однородного уравнения (без правой части):

y' + (2y/x) = 0

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения преобразуем его в разделяющиеся переменные:

dy/y = -2(x dx)/x

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(-2/x) dx

ln|y| = -2ln|x| + C1

ln|y| = ln(1/x^2) + C1

Используя свойство логарифмов, получаем:

ln|y| = ln(1/x^2) + ln(e^(C1))

Теперь можно убрать логарифмы:

|y| = e^(C1) * (1/x^2)

Избавимся от модуля, учитывая, что y(2) = 1:

y = ±e^(C1) * (1/x^2)

Теперь найдем частное решение с учетом начального условия. Подставим x = 2 и y = 1 в уравнение:

1 = ±e^(C1) * (1/2^2)

1 = ±e^(C1) * (1/4)

Для получения положительного значения 1, выбираем знак "+":

1 = e^(C1) * (1/4)

Теперь найдем e^(C1):

e^(C1) = 4

Теперь, найдя значение e^(C1), можем записать частное решение:

y = 4/x^2

Таким образом, решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения:

y' + (2y/x) = 1/x^2, y(2) = 1

является y = 4/x^2.