Question

Дискретная математика. Докажите утверждение: ω^2 ∼ Z.

Answer 1

Ответ:
Z это обычно множество натуральных чисел. Если ответ в прикрепе не подойдет, баллы можешь не давать.
Пошаговое объяснение:

Answer 2

Утверждение ω^2 ∼ Z означает, что множество ω^2 (где ω - первый несчетный ординал, а ^2 обозначает его возведение в квадрат) эквивалентно множеству Z (целых чисел).

Чтобы доказать это утверждение, давайте построим биекцию (взаимно однозначное соответствие) между множеством ω^2 и множеством Z.

Построим такую биекцию следующим образом:

1. Рассмотрим ω^2. Это множество содержит все неупорядоченные пары (a, b), где a и b - элементы ω. Помним, что ω - это первый несчетный ординал, который можно представить как множество всех натуральных чисел и точку "бесконечность". Таким образом, каждый элемент ω можно представить как натуральное число или "бесконечность".

2. Пары (a, b) будут представлять все возможные комбинации натуральных чисел и "бесконечности". Например, (3, 2), (1, ∞), (∞, ∞), и так далее.

3. Теперь давайте построим биекцию между этими парами и целыми числами Z. Мы можем сделать это, просто сопоставляя каждой паре (a, b) целое число следующим образом:

   • Если a и b оба являются натуральными числами, то сопоставляем им целое число с помощью знака "минус" и формулы: -(2^a)(2b + 1). Например, паре (3, 2) сопоставляем -(2^3)(2 * 2 + 1) = -40.

   • Если один из элементов пары равен "бесконечности", то сопоставляем паре целое число 0.

4. Эта биекция установит взаимно однозначное соответствие между множеством ω^2 и множеством Z, что доказывает, что они эквивалентны, т.е., ω^2 ∼ Z.

Таким образом, мы доказали утверждение ω^2 ∼ Z, предоставив биекцию между этими двумя множествами.