Question

Число 30 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим

Answer 1

Ответ: 30=20+10.

Пошаговое объяснение:

Пусть x и y - данные неотрицательные слагаемые. По сути, требуется найти максимум функции z(x,y)=x²*y при условии x+y=30. Таким образом, задача сводится к нахождению условного максимума функции z.  Из уравнения связи x+y=30 находим y=30-x. Подставляя это выражение в выражение для z, получаем z=x²*(30-x)=30*x²-x³. Находим производную: dz/dx=60*x-3*x²=3*x*(20-x). Приравнивая её к 0, находим две критические точки: x1=0 и x2=20. При переходе через точку x=0 производная меняет знак с - на +, поэтому данная точка является точкой минимума. При переходе через точку x=20 производная меняет знак с + на -, поэтому данная точка является точкой максимума. Из уравнения связи при x=20 находим y=30-20=10.    

Answer 2

Для нахождения такой суммы двух неотрицательных слагаемых, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим, мы можем воспользоваться принципом оптимизации функции.

Пусть x и y - эти два слагаемых, и нам нужно максимизировать их произведение x*y. Тогда задача будет сформулирована следующим образом:

Максимизировать x*y при условии, что x + y = 30.

Для решения этой задачи используем метод подстановки. Решение можно найти, выразив одну из переменных через другую из уравнения x + y = 30, например, x = 30 - y.

Теперь мы имеем уравнение одной переменной:

F(y) = x*y = (30 - y)*y

Для нахождения максимума этой функции найдем её производную и приравняем её к нулю:

F'(y) = 30 - 2y = 0

Теперь решим это уравнение относительно y:

30 - 2y = 0 2y = 30 y = 15

Таким образом, одно из слагаемых (y) равно 15, и второе слагаемое (x) равно 30 - 15 = 15.

Итак, число 30 можно представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых таким образом: 15 + 15, и произведение квадрата одного из них на другое будет максимальным.