Question

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры x^2+y^2=9, x=-1, x=2

Answer 1

Ответ:

$\large \boldsymbol {V=24\pi }$

Пошаговое объяснение:

Формула объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

$\displaystyle V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

у нас есть окружность радиусом 3 с центром в точке (0; 0).

Считаем объем по формуле.

y² = (9-x²)

$\displaystyle V=\pi \int\limits^2_{-1} {(9-x^2)} \, dx=\pi \bigg (9x\bigg|_{-1}^2 -\frac{x^3}{3} \bigg|_{-1}^2\bigg)=\pi (27-3) = 24\pi$

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, мы можем использовать метод цилиндров разреза (метод Диска По). Сначала давайте определим, как выглядит данная фигура и затем будем интегрировать объем, полученный вращением этой фигуры вокруг оси OX.

Фигура задана следующим уравнением: $x^2 + y^2 = 9$

Это уравнение представляет собой окружность радиусом 3 с центром в начале координат (0,0).

Граничные значения x для данной фигуры: x = -1 и x = 2.

Теперь давайте представим, что мы вращаем эту окружность вокруг оси OX в интервале от x = -1 до x = 2. Это создаст тело вращения, которое похоже на барабан.

Для нахождения объема этого тела интегрируем объемы бесконечно малых цилиндров разреза, которые образуются вращением каждой точки x от -1 до 2.

Объем бесконечно малого цилиндра разреза с радиусом y и высотой dx можно выразить следующим образом:

$dV = \pi \cdot y^2 \cdot dx$

Теперь мы должны найти значение y (радиус цилиндра) в зависимости от x. Так как фигура - это окружность с радиусом 3, то радиус y будет равен 3 минус расстояние от x до центра окружности, то есть |x|.

$y = 3 - |x|$

Теперь мы можем интегрировать объем от -1 до 2:

$V = \int_{-1}^{2} \pi \cdot (3 - |x|)^2 \cdot dx$

Это интеграл, который можно вычислить численно. Найдя его значение, вы найдете объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX в заданном интервале.