Question

При каком натуральном значении d уравнение −1/3x^3+x^2+3x−d=0 имеет ровно два корня?

Answer 1

Ответ:

x^3+3x^2-9x-k = 0

x(x^2-9) + 3x^2 -k = 0

x(x^2-9) + 3(x^2 -k/3) = 0 отсюда k = 27, тогда получаем

(x^2-9)(x + 3) = 0 получаем два корня: x=3 и x=-3

Ответ: k=27

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы уравнение -1/3x^3 + x^2 + 3x - d = 0 имело ровно два корня, оно должно быть квадратным уравнением после некоторых преобразований. Для этого давайте сначала упростим его.

-1/3x^3 + x^2 + 3x - d = 0

Умножим обе стороны на -3, чтобы избавиться от дробей:

x^3 - 3x^2 - 9x + 3d = 0

Теперь добавим некоторый параметр k и выразим его так, чтобы у нас появился кубический и квадратный член:

x^3 - 3kx^2 - 9x + 3k = 0

Теперь мы хотим, чтобы уравнение имело ровно два корня. Это означает, что квадратное уравнение, полученное после выделения квадратных членов, должно иметь один корень с кратностью 2 (т.е., быть удвоенным корнем) и один простой корень.

Для этого мы устанавливаем дискриминант квадратного уравнения равным нулю:

(-3k)^2 - 4(1)(3k) = 0

9k^2 - 12k = 0

Теперь решим это уравнение для k:

9k^2 - 12k = 0

3k(3k - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения k:

1. k = 0
2. 3k - 4 = 0 => 3k = 4 => k = 4/3

Теперь мы можем найти соответствующие значения параметра d, используя исходное уравнение:

1. k = 0: x^3 - 3(0)x^2 - 9x + 3(0) = 0 x^3 - 9x = 0 x(x^2 - 9) = 0 x(x - 3)(x + 3) = 0

   У этого уравнения три корня: x = 0, x = 3 и x = -3.

2. k = 4/3: x^3 - 3(4/3)x^2 - 9x + 3(4/3) = 0 x^3 - 4x^2 - 9x + 4 = 0

Это уравнение имеет два корня.

Итак, при k = 4/3 уравнение -1/3x^3 + x^2 + 3x - d = 0 имеет ровно два корня.