Question

Інтеграл від логарифмічної, показової та степеневої функцій?​

Answer 1

Ответ:

степенева функція

$∫ {x}^{n}dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} +C$

показникова

$∫ {a}^{x} dx = \frac{ {a}^{x} }{lna} +C$

логарифмічна

$∫lnxdx = xlnx - x +C \\ ∫log_{a}x \: dx = x log_{a}x - \frac{x}{lna} +C$

Answer 2

Інтеграл від різних функцій може мати різний вигляд, залежно від конкретної функції та меж інтегрування. Ось кілька прикладів інтегралів для логарифмічних, показових та степеневих функцій:

1. Інтеграл від логарифмічної функції: Інтеграл від ln(x) зазвичай записують як ∫ln(x) dx, де x - змінна інтегрування. Цей інтеграл може бути обчислений за допомогою інтегрування за частинами: ∫ln(x) dx = xln(x) - ∫x * (1/x) dx = xln(x) - ∫dx = xln(x) - x + C, де C - константа інтегрування.

2. Інтеграл від показової функції: Інтеграл від функції a^x (де "a" - позитивне число) зазвичай записують як ∫a^x dx. Залежно від значення "a", цей інтеграл може мати різний вигляд. Наприклад, для a ≠ 1: ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C.

3. Інтеграл від степеневої функції: Інтеграл від функції x^n (де "n" - будь-яке дійсне число, окрім -1) зазвичай записують як ∫x^n dx. Залежно від значення "n", цей інтеграл також може мати різний вигляд. Наприклад: a) Якщо n ≠ -1, то ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C. б) Якщо n = -1, то ∫x^(-1) dx = ln(|x|) + C.

Обов'язково пам'ятайте про додавання константи C до результату інтегрування, оскільки інтеграл є оберненою операцією до похідної, і він може мати безліч різних функцій як розв'язок.