Question

F(x)=0,5x-x4 знайти точки макс и мин

Answer 1

Ответ:

f(x) = 0,5x - $x^{4}$

D(f) = (-∞; +∞)

f'(x) = 0,5 - 4x³

f'(x) = 0 при: 0,5 - 4x³= 0

x³= 1/8

x = 1/2

   --------------|------------->x

-∞      +       1/2     -      +∞

f(x) возрастает на (-∞; 1/2)

f(x) убывает на (1/2; +∞)

Точка max f(x) = f(1/2) = 0,5*(1/2) - $(1/2)^{4}$ = 1/4 - 1/16 = 3/16

Точка мин min f(x) - нет

Answer 2

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x) = 0.5x - x^4$, мы сначала должны найти её производную и решить уравнение $f'(x) = 0$. Затем мы анализируем знак второй производной, чтобы определить, является ли каждая из найденных точек экстремумами (максимумами или минимумами), и если да, то какого типа.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f(x) = 0.5x - x^4$ $f'(x) = 0.5 - 4x^3$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$0.5 - 4x^3 = 0$

Добавим 4x^3 к обеим сторонам:

$0.5 = 4x^3$

Теперь разделим обе стороны на 4:

$x^3 = 0.125$

3. Возьмем кубический корень от обеих сторон:

$x = \sqrt[3]{0.125}$

$x = 0.5$

Теперь у нас есть одна точка, в которой производная равна нулю: $x = 0.5$.

4. Чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, проанализируем знак второй производной $f''(x)$:

$f''(x) = -12x^2$

Подставим $x = 0.5$ в $f''(x)$:

$f''(0.5) = -12(0.5)^2 = -12(0.25) = -3$

Так как $f''(0.5)$ отрицательное, это означает, что точка $x = 0.5$ является точкой максимума функции $f(x)$.

Итак, точка максимума функции $f(x) = 0.5x - x^4$ находится в $x = 0.5$.