Question

Решите ДУ (не методом коши) y"-4y'+3y=xe^2x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенное решение; проверка не проводилась.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 4y' + 3y = xe^(2x), предположим, что частное решение можно найти в виде y_p = Ax^2e^(2x), где A - некоторая постоянная, которую нужно найти.

Теперь найдем первую и вторую производные этой функции:

y_p = Ax^2e^(2x) y_p' = (2Ax^2 + 2Ax) * e^(2x) y_p'' = (4Ax^2 + 4Ax + 2A) * e^(2x)

Теперь подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

(4Ax^2 + 4Ax + 2A) * e^(2x) - 4 * (2Ax^2 + 2Ax) * e^(2x) + 3 * A*x^2 * e^(2x) = xe^(2x)

Упростим это уравнение:

4Ax^2e^(2x) + 4Axe^(2x) + 2Ae^(2x) - 8Ax^2e^(2x) - 8Axe^(2x) + 3Ax^2*e^(2x) = xe^(2x)

Теперь сгруппируем похожие члены:

(4A - 8A + 3A) * x^2 * e^(2x) + (4A - 8A) * x * e^(2x) + 2A * e^(2x) = xe^(2x)

• A * x^2 * e^(2x) + (-4A) * x * e^(2x) + 2A * e^(2x) = xe^(2x)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения:

• A = 1 (для члена x^2)
• -4A = 0 (для члена x)
• 2A = 0 (для члена без x)

Из первого уравнения получаем A = -1. Затем, из второго и третьего уравнений, получаем -4A = 0 и 2A = 0, что подтверждает, что A = -1.

Таким образом, частное решение y_p = -x^2*e^(2x).

Теперь нужно добавить общее решение однородного уравнения y'' - 4y' + 3y = 0. Чтобы его решить, найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 4r + 3 = 0

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

(r - 3)(r - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: r1 = 3 и r2 = 1.

Общее решение однородного уравнения:

y_h = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) y_h = C1e^(3x) + C2e^(x)

Теперь можем записать общее решение исходного уравнения:

y = y_h + y_p y = C1e^(3x) + C2e^(x) - x^2*e^(2x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны.