Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y^2=-x+4 y^2=x+5

Answer 1

Ответ: Площа фігури, яка обмежена лініями

y²= -x+4  , y²= x+5 дорівнює  18√2(од)²

Пошаговое объяснение:

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями :

y²= -x+4

y²= x+5

Приведем графики к такому виду

x = 4 - y²

x = y² - 5


Формула Ньютона - лейбница

$\boldsymbol{\displaystyle \int\limits^a_b f \, dx = F(x ) \bigg |^a_b = F(a) - F(b)}$

Находим точки пересечения

$y^2 -5 = -y^2 + 4 \\\\ 2y ^2 = 9 \\\\ y =\pm \sqrt{4,5$

$x = 5 - (\sqrt{4,5} )^2 = -0,5$

Графики будут иметь две точки пересечения

1)  x =  -0,5  ;  y = √4,5

2)  x =  -0,5  ;  y = -√4,5

Проведем линию   x = -0,5   , видно что она делит нашу искомую фигуру на две равные фигуры  ,   тогда нам будет достаточно найти  площадь фигуры которая ограничена   линиями

$x = y^2 -5 ~~ ; ~~ y = -\sqrt{4,5} ~~ ; ~~ y = \sqrt{4,5}$  , а затем умножить ее площадь на 2


С помощью формулы Ньютона- лейбница находим площадь фигуры которая ограничена   линиями

$1)~x = y^2 -5 ~~ ; ~~2)~ x =-0,5~~; ~~ y = -\sqrt{4,5} ~~ ; ~~ y = \sqrt{4,5}$

В промежутке   $( ~-\sqrt{4,5} ~ ; ~ \sqrt{4,5} ~)$   функция  $x = y^2 -5$ принимает отрицательные значения поэтому ,  при вычислении площади

от второй функции отнимем первую


$\displaystyle \int\limits^{\sqrt{4,5}}_ {-\sqrt{4,5}} (-0,5 - (y^2 -5))\, dy = \int\limits^{\sqrt{4,5}}_ {-\sqrt{4,5}} (-y^2 +4,5 ) dy = \bigg (-\frac{y^3}{3} +4,5 y \bigg )\Bigg | ^{\sqrt{4,5}}_ {-\sqrt{4,5}} = \\\\\\ = -1,5\sqrt{4,5} +4,5\sqrt{4,5} - (1,5\sqrt{4,5}- 4,5\sqrt{4,5} ) = \\\\\\= 9\sqrt{4,5} - 3\sqrt{4,5} = 6\sqrt{4,5} = 6 \cdot \frac{3}{\sqrt{2} } = 9\sqrt{2}$

Тогда площадь искомой фигура равна

$S = 2S_1= 18\sqrt{2}$

#SPJ1

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими двома кривими, спочатку треба знайти точки їх перетину. Після цього можна буде побудувати інтеграл для знаходження площі.

Почнемо з того, що розв'яжемо систему рівнянь для знаходження точок перетину:

1. y^2 = -x + 4
2. y^2 = x + 5

Подивимося на рівняння як на систему рівнянь з двома змінними x і y. Віднімемо друге рівняння від першого:

(-x + 4) - (x + 5) = 0

Розкриємо дужки:

-x + 4 - x - 5 = 0

Просумуємо подібні члени:

-2x - 1 = 0

Тепер додамо 1 до обох сторін:

-2x = 1

Розділимо обидві сторони на -2:

x = -1/2

Тепер, коли ми знайшли x, підставимо його в будь-яке з рівнянь, щоб знайти відповідне значення y. Давайте використаємо перше рівняння:

y^2 = -x + 4 y^2 = -(-1/2) + 4 y^2 = 1/2 + 4 y^2 = 9/2

Звідси знаходимо y:

y = ±√(9/2) = ±√(9/2) = ±√(9/2) = ±(3/√2) = ±(3√2/2)

Тепер ми знайшли дві точки перетину:

1. (x, y) = (-1/2, 3√2/2)
2. (x, y) = (-1/2, -3√2/2)

Тепер можемо побудувати інтеграл для знаходження площі фігури. Формула для обчислення площі між кривими f(x) і g(x) на інтервалі [a, b] виглядає так:

Площа = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

У нашому випадку f(x) = √(x + 5), g(x) = √(-x + 4), a = -1/2 і b = -1/2. Також треба врахувати, що є дві частини фігури (верхня і нижня), тому ми повинні обчислити площу кожної окремо і підсумувати їх:

Площа фігури = ∫[-1/2, -1/2] |√(x + 5) - √(-x + 4)| dx = 2 * ∫[-1/2, -1/2] |√(x + 5) - √(-x + 4)| dx

Тепер виконайте обчислення цього інтеграла, і ви отримаєте площу фігури, обмеженої даними кривими.