Question

Із вершини прямого кута прямокутного трикутника проведено перпендикуляр до площини трикутника. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6см і 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо відстань від верхнього кінця перпендикуляра до гіпотенузи дорівнює 5,2 см.

Answer 1

Ответ:

Длина перпендикуляра равна 2 см.

Пошаговое объяснение:

По условию задан Δ АВС - прямоугольный, ∠С =90°.

Катеты АС =6 см, ВС =8 см. Из вершины прямого угла проведен перпендикуляр СК к плоскости треугольника.  Расстояние от точки К до гипотенузы КМ =5,2 см. Надо найти длину перпендикуляра СК.

Если КМ - это расстояние от точки К до гипотенузы АВ , то КМ ⊥АВ.

СК ⊥( пл. АВС) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах проекция наклонной СМ⊥ АВ и отрезок СМ - высота ΔАВС.

Чтобы найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, надо произведение катетов разделить на гипотенузу.

Найдем гипотенузу АВ, применяя теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AB^{2} =AC^{2} +BC^{2};\\AB=\sqrt{AC^{2} +BC^{2}} ;\\AB=\sqrt{6^{2} +8^{2} } =\sqrt{36+64} =\sqrt{100} =10$ см.

Тогда высота СМ

$CM=\dfrac{AC\cdot BC}{AB} ;\\\\CM=\dfrac{6\cdot 8}{10}= \dfrac{48}{10} =4,8$ см.

Рассмотрим Δ КСМ - прямоугольный и применим теорему Пифагора

$KM^{2} =KC^{2} +CM^{2} ;\\KC^{2} =KM^{2} -CM^{2} ;\\KC=\sqrt{KM^{2} -CM^{2}};\\KC=\sqrt{5,2^{2}-4,8^{2} } =\sqrt{(5,2-4,8)\cdot(5,2+4,8)} =\sqrt{0,4\cdot10} =\\=\sqrt{4} =2$

Значит, длина перпендикуляра равна 2 см.

#SPJ1

Answer 2

Давайте позначимо дані в задачі:

AB = 6 см (один з катетів) BC = 8 см (другий катет) AD = 5.2 см (відстань від верхнього кінця перпендикуляра до гіпотенузи)

Ми шукаємо довжину перпендикуляра, який проведено з вершини прямого кута трикутника ABC до площини трикутника.

Спочатку розглянемо схожий прямокутний трикутник ADE, де:

• DE - перпендикуляр
• AE - один з катетів (рівний AD = 5.2 см)
• AD - відома нам відстань від верхнього кінця перпендикуляра до гіпотенузи

Тепер ми можемо використовувати подібність трикутників ABC і ADE. Знаючи, що вони подібні, ми можемо скласти співвідношення відношень сторін:

AB/AD = BC/AE

Підставимо відомі значення:

6 см/5.2 см = 8 см/AE

Тепер розв'яжемо це рівняння для AE (довжини перпендикуляра):

AE = (6 см * 5.2 см) / 8 см = 3.9 см

Таким чином, довжина перпендикуляра DE дорівнює 3.9 см.