Question

Отношение третьего члена арифметической прогрессии к десятому равно 11/32. Сумма четвертого и восьмого члена прогрессии равна 16. Найдите одиннадцатый член данной прогрессии​

Answer 1

Ответ:

$\frac{a_{3}}{a_{10} } = \frac{11}{32}$

$a_{4} + a_{8} = 16$

Формула n-члена арифметической прогрессии:

$a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$

n – номер члена прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Подставим эту формулу в сумму четвертого и восьмого членов.

$a_{1} + d(4 - 1) + a_{1} + d(8 - 1) = 16 \\ 2a_{1} + 10d = 16 \\ \frac{2a_{1} + 10d}{2} = \frac{16}{2} \\ a_{1} + 5d = 8$

Теперь ту же формулу в отношение третьего к десятому.

$\frac{a_{1} + d(3 - 1) }{a _{1} + d (10 - 1) } = \frac{11}{32} \\ \frac{a_{1} + 2d}{a_{1} + 9d } = \frac{11}{32} \\ 32(a_{1} + 2d) = 11(a_{1} + 9d) \\ 32a_{1} + 64d = 11a_{1} + 99d \\32a_{1} - 11a_{1} = 99d - 64d \\ 21a_{1} = 35d \\ a_{1} = \frac{35d}{21}$

Подставим это значение в то, что получилось из суммы выше.

$a_{1} + 5d = 8 \\ \frac{35d}{21} + 5d = 8 \\ \frac{35d}{21} + \frac{105d}{21} = 8 \\ \frac{140d}{21} = 8 \\ 140d = 8 \times 21 \\ 140d = 168 \\ d = \frac{168}{140} \\ d = 1.2$

А теперь найдем первый член:

$a_{1} = \frac{35 \times 1.2}{21} = \frac{42}{21} = 2$

Теперь остается просто подставить эти значения в формулу одиннадцатого члена.

$a_{11} = a_{1} + d(11 - 1) \\ a_{11} = a_{1} + 10d$

$a_{11} = 2 + 1.2 \times 10 = 2 + 12 = 14$

Одиннадцатый член равняется 14.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти первый член (a) и разность (d) арифметической прогрессии. Мы знаем, что отношение третьего члена к десятому равно 11/32, что можно записать как:

a + 2d / (a + 9d) = 11/32

Также нам дано, что сумма четвертого и восьмого члена прогрессии равна 16:

(a + 3d) + (a + 7d) = 16

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и d). Решим ее:

1. Из первого уравнения получим выражение для a + 2d:

a + 2d = (11/32)(a + 9d)

2. Раскроем скобки:

a + 2d = (11/32)a + (99/32)d

3. Переносим (11/32)a на левую сторону и (99/32)d на правую сторону:

a + 2d - (11/32)a = (99/32)d

4. Умножим оба выражения на 32, чтобы избавиться от дробей:

32a + 64d - 11a = 99d

5. Сгруппируем члены с a и d:

(32a - 11a) + 64d - 99d = 0

21a - 35d = 0

6. Теперь из второго уравнения получим выражение для a + 7d:

a + 7d = 16 - (a + 3d)

a + 7d = 16 - a - 3d

2a + 10d = 16

a + 5d = 8

7. Рассмотрим оба выражения, которые мы получили:

21a - 35d = 0 (1) a + 5d = 8 (2)

8. Теперь решим эту систему уравнений. Сначала выразим a из уравнения (2):

a = 8 - 5d

9. Подставим это выражение в уравнение (1):

21(8 - 5d) - 35d = 0

10. Раскроем скобки:

168 - 105d - 35d = 0

11. Сгруппируем члены с d:

-140d = -168

12. Разделим обе стороны на -140:

d = 168 / 140 d = 12 / 10 d = 6 / 5

Теперь, когда мы нашли разность d, мы можем найти первый член a с использованием уравнения (2):

a + 5(6/5) = 8

a + 6 = 8

a = 8 - 6 a = 2

Теперь у нас есть первый член (a = 2) и разность (d = 6/5) арифметической прогрессии. Мы можем найти одиннадцатый член (A11) с помощью формулы для n-го члена арифметической прогрессии:

A11 = a + 10d A11 = 2 + 10(6/5) A11 = 2 + 12 A11 = 14

Таким образом, одиннадцатый член данной арифметической прогрессии равен 14.