Question

У полного квадрата трехзначного числа три последние цифры такие же , как и у самого трехзначного числа . Чему равна сумма всех таких чисел .

Answer 1

Ответ:

1001

Пошаговое объяснение:

Пусть А - это наше трехзначное число. По условию А²=1000В+А, где В - некоторое натуральное число. Отсюда А(А-1)=2³·5³·В. Поскольку целые числа А и А-1 соседние, они не могут оба делиться на 5, поэтому делаем вывод, что одно из них делится на 5³=125. Аналогичное утверждение справедливо про деление на 2, поэтому одно из них делится на 2³=8. Используя пока только делимость на 125, получаем такие возможности:

1) А=125; А-1=124;    2) A=126; A-1=125;

3) A=250; A-1=249; 4) A=251; A-1=250;

5) A=375; A-1=374;  6) A=376; A-1=375;

7) A=500; A-1=499;  8) A=501; A-1=500;

9) A=625; A-1=624; 10) A=626; A-1=625;

11) A=750; A-1=749; 12) A=751; A-1=750;

13) A=875; A-1=874; 14) A=876; A-1=875

Но условию делимости на 8 удовлетворяют только 6-й и 9-й случаи:

А=376=8·47 и А-1=624=8·78.

Итак, А=376 и А=625. Проверим себя:

А=376⇒А²=141376; А=625⇒А²=390625.

Сумма найденных чисел равна 376+625=1001.

Answer 2

Чтобы найти все трехзначные числа, у которых три последние цифры такие же, как и у самого числа, мы можем перебрать все трехзначные числа и проверить, соответствует ли это условие. Такие числа можно записать в виде "ABC", где A, B и C - цифры.

Поскольку трехзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются 999, мы будем перебирать числа от 100 до 999 и проверять условие.

Пример:

• 111 - не подходит (последние цифры не совпадают)
• 121 - не подходит
• 131 - не подходит ...
• 191 - не подходит
• 200 - не подходит ...
• 222 - подходит (последние цифры совпадают) ...
• 999 - подходит

Таким образом, все трехзначные числа, у которых три последние цифры совпадают с числом самим по себе, это числа 222, 333, ..., 999.

Чтобы найти сумму всех таких чисел, мы можем сложить их:

Сумма = 222 + 333 + ... + 999

Теперь нам нужно найти сумму арифметической прогрессии. Можно воспользоваться формулой:

Сумма = (n / 2) * (a + b)

где n - количество элементов в последовательности, a - первый элемент, b - последний элемент.

В данном случае, n = (999 - 222) / 111 + 1 = 8 (включая 222 и 999), a = 222, b = 999.

Сумма = (8 / 2) * (222 + 999) = 4 * 1221 = 4884

Сумма всех трехзначных чисел, у которых три последние цифры совпадают с самим числом, равна 4884.