Question

Розв'яжіть рівняння |x-1|+|x-2|=x

Answer 1

Ответ:

1; 3

Пошаговое объяснение:

Разобьем числовую прямую на три промежутка двумя точками, в которых модули обращаются в 0, т. е. точками 1 и 2, и рассмотрим данное уравнение на каждом из промежутков.

Сами точки 1 и 2 тоже следует включить по одному разу в какой-то из промежутков. В решении они обе включены во второй. Если включить их как-то иначе, на ответ задачи это не повлияет.

1) $x < 1$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = 1 - x,$ $\left| {x - 2} \right| = 2 - x,$ значит

$1 - x + 2 - x = x,$

$></p> <p><img src=$

Найденное значение не находится в промежутке $x < 1,$ поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

2) $1 \le x \le 2$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = x - 1,$ $\left| {x - 2} \right| = 2 - x,$ значит

$x - 1 + 2 - x = x,$

$x = 1.$

Найденное значение принадлежит промежутку $1 \le x \le 2,$ поэтому $x = 1$ — корень.

3) $x > 2$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = x - 1,$ $\left| {x - 2} \right| = x - 2,$ значит

$x - 1 + x - 2 = x,$

$x = 3.$

Найденное значение принадлежит промежутку $x > 2,$ поэтому $x = 3$ — корень.

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати рівняння |x-1|+|x-2|=x шляхом розгляду всіх можливих випадків для значення x.

1. Якщо x < 1: У цьому випадку |x-1| = -(x-1) і |x-2| = -(x-2), оскільки обидві різниці будуть від'ємними числами. Тоді рівняння стає: -(x-1) - -(x-2) = x -(x-1) + (x-2) = x -x + 1 + x - 2 = x -1 = x

Але ця відповідь не задовольняє початкове рівняння, тому x < 1 не є розв'язком.

2. Якщо 1 ≤ x < 2: У цьому випадку |x-1| = x-1 і |x-2| = -(x-2), оскільки x-1 буде додатнім числом, а -(x-2) від'ємним числом. Тоді рівняння стає: (x-1) - -(x-2) = x x - 1 + x - 2 = x 2x - 3 = x

Тепер віднімемо x від обох боків: 2x - x - 3 = 0 x - 3 = 0

Додамо 3 до обох боків: x = 3

Отже, x = 3 є розв'язком в діапазоні 1 ≤ x < 2.

3. Якщо x ≥ 2: У цьому випадку |x-1| = x-1 і |x-2| = x-2, оскільки обидві різниці будуть додатніми числами. Тоді рівняння стає: (x-1) + (x-2) = x x - 1 + x - 2 = x 2x - 3 = x

Тепер віднімемо x від обох боків: 2x - x - 3 = 0 x - 3 = 0

Додамо 3 до обох боків: x = 3

Отже, x = 3 є розв'язком для x ≥ 2.

Отже, ми маємо два розв'язки:

1. x = 3 (для 1 ≤ x < 2)
2. x = 3 (для x ≥ 2)