Question

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ и СA1.

Answer 1

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра

которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ и СA1.

В этой задаче есть 2 варианта решения:

1) геометрический,

2) аналитический.

1) Угол между заданными скрещивающимися прямыми можно определить, если отрезок СА1 переместить параллельно себе из точки С в точку А. Получим отрезок AD.

Соединив точки В и D, получаем треугольник AВD и в нём искомый угол ВАD.

Отрезок АD как диагональ квадрата равен √2.

Угол C'AD равен 180 – 60 = 120 градусов.

Диагональ С’B = √(1² + 1² - 2*1*1*(-1/2) = √3, а отрезок ВD по Пифагору равен:

ВD = √(1 + 3) = √4 = 2.

По теореме косинусов находим косинус угла ВАD.

cos BAD = √(1² + (√2)² - 2²)/(2*1*√2) = -1 / (2√2) = -√2 / 4 ≈ -0,35355.

Угол равен arccos(-√2 / 4) = 1,93216 радиан или 110,7048 градуса.

2) Определяем координаты точек.

А(0; 0; 0), В(0,5; √3/2; 0).

Вектор АВ = ((0,5; √3/2; 0), модуль равен 1.

C(1; 0; 0). A1(0; 0; 1).

Вектор СА1 = (-1; 0; 1), модуль равен √2.

cos BAD = (0,5*(-1)+(√3/2)*0+0*1)/(1*√2) = -1/(2*√2)= -√2 / 4 ≈ -0,35355.

Угол равен arccos(-√2 / 4) = 1,93216 радиан или 110,7048 градуса.

Answer 2

Чтобы найти угол между прямыми AB и CA1 в правильной треугольной призме, нужно сначала определить, какие это прямые и как они расположены.

Правильная треугольная призма имеет треугольную основу и три прямоугольных боковых грани. В данном случае, основа треугольника ABC является прямоугольным треугольником, так как это правильная треугольная призма. Поэтому у нас есть следующие данные:

1. Длина всех рёбер призмы равна 1.
2. Угол между боковой гранью AB и основой треугольника ABC равен 90 градусов, так как это прямоугольная призма.

Теперь, чтобы найти угол между прямыми AB и CA1, нужно учесть, что прямая CA1 является продолжением одной из сторон треугольника ABC. Эта сторона соединяет вершину C с вершиной A1 на противоположной боковой грани призмы. Таким образом, эта сторона перпендикулярна боковой грани AB и расположена в плоскости, параллельной основе треугольника ABC.

Теперь, учитывая, что угол между боковой гранью AB и основой треугольника ABC равен 90 градусов, а прямая CA1 находится в плоскости, параллельной основе, угол между прямыми AB и CA1 также равен 90 градусов.

Итак, угол между прямыми AB и CA1 равен 90 градусам.