Question

Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у= 4/х, у=0, х=е, х=у (в квадрате)

Answer 1

Ответ:

Для обчислення площі криволінійної трапеції розділимо її на дві прості трапеції. З одного боку маємо трапецію з вершинами у (е, 0), (е, 4/е), (1, 4), (1, 0), а з іншого - трапецію з вершинами у (е, 4/е), (1, 4), (0, 4), (0, 0).

Площа першої трапеції:

12(1+e)(4/e)=2+4ee

21​(1+e)(4/e)=e2+4e​

Площа другої трапеції:

12(1−e)(4+4/e)=2−2e−2e

21​(1−e)(4+4/e)=2−e2​−2e

Отже, загальна площа криволінійної трапеції дорівнює:

2+4ee+2−2e−2e=6+2e−2e2e

e2+4e​+2−e2​−2e=e6+2e−2e2​

Таким чином, площа криволінійної трапеції дорівнює $\frac{6+2e-2e^2}{e}$ квадратних одиниць.

Answer 2

Для знаходження площі криволінійної трапеції обмеженої лініями у = 4/х, у = 0, х = е, і х = у, спершу знайдемо точки перетину цих ліній.

1. Лінія y = 4/x перетинає лінію y = 0 в точці (x, 0). Для знаходження цієї точки, підставимо y = 0 в рівняння лінії y = 4/x:

0 = 4/x

Розв'яжемо це рівняння для x:

0 = 4/x

x = 4/0

Це рівняння не має розв'язків, тобто лінії y = 4/x та y = 0 не перетинаються в жодній точці, окрім точки (0, 0).

2. Лінія x = е перетинає лінію x = y в точці (e, e), оскільки вони рівні між собою в цій точці.

Тепер ми можемо побудувати криволінійну трапецію, використовуючи ці точки. Трапеція матиме форму прямокутника, якому вирізано одинкувий трикутник. Ширина трапеції дорівнює різниці між x-координатами точок (e - 0 = e), а висота дорівнює різниці між y-координатами точок (e - 0 = e).

Площа прямокутника: A = ширина * висота = e * e = e^2.

Тепер, щоб знайти площу вирізаного трикутника, можна використовувати формулу для площі трикутника:

Площа трикутника = (1/2) * основа * висота.

В нашому випадку основа трикутника - це відстань між точками (0, 0) і (e, e), тобто відстань між точкою початку координат і точкою (e, e), що дорівнює відомій значенню e. Висота трикутника - це відстань між x-віссю і лінією y = 4/x при x = e, тобто 4/e.

Площа трикутника: A_triangle = (1/2) * e * (4/e) = 2.

Тепер можемо знайти площу криволінійної трапеції, віднявши площу трикутника від площі прямокутника:

A_trapezoid = A_rectangle - A_triangle = e^2 - 2.

Отже, площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = 4/x, y = 0, x = е і x = у, дорівнює e^2 - 2.