Question

4. Складіть рiвняння дотичноï та нормалі до еліпса x² +4y² = 20 в його точці з абсцисою x=4 та додатньою ординатою. ----------4.Составьте уравнение касательной и нормали к эллипсу x² +4y² = 20 в его точке с абсциссой x=4 и положительной ординатой.​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для пошуку рівняння касательної і нормалі до еліпса x² + 4y² = 20 в точці з абсцисою x = 4 та додатньою ординатою, спершу знайдемо координати точки, в якій ми хочемо побудувати ці лінії.

Підставимо x = 4 у рівняння еліпса:

4² + 4y² = 20 16 + 4y² = 20

Тепер віднімемо 16 від обох сторін:

4y² = 4

Розділимо обидві сторони на 4:

y² = 1

Знаходимо значення y:

y = ±1

Таким чином, у нас є дві точки з абсцисою x = 4 та ординатою y = 1 і y = -1.

Тепер знайдемо похідну функції, що відповідає еліпсу в цій точці, і використаємо її для побудови рівнянь касательної і нормалі.

Для еліпса x² + 4y² = 20, можемо записати його узагальнену форму:

x²/20 + y²/5 = 1

Знайдемо похідну від обох сторін за змінною x:

d/dx (x²/20 + y²/5) = d/dx(1)

(1/20) * 2x + (1/5) * 2y * dy/dx = 0

Підставимо значення x = 4 і y = 1 (або x = 4 і y = -1) у це рівняння:

(1/20) * 2 * 4 + (1/5) * 2 * 1 * dy/dx = 0

(1/10) * 8 + (2/5) * dy/dx = 0

4/5 + (2/5) * dy/dx = 0

(2/5) * dy/dx = -4/5

dy/dx = -(4/5) * (5/2)

dy/dx = -2

Тепер у нас є похідна dy/dx у точці (4, 1) (або точці (4, -1)). Ця похідна вказує на швидкість зміни y відносно x в даній точці.

Рівняння касательної:

Використовуючи точку (4, 1), можемо скласти рівняння касательної за допомогою точки-наклону:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 1 = -2(x - 4)

y - 1 = -2x + 8

y = -2x + 9

Рівняння нормалі:

Для рівняння нормалі, ми можемо використовувати обернену величину нахилу касательної:

m₁ * m₂ = -1

-2 * m₂ = -1

m₂ = 1/2

Тепер, використовуючи точку (4, 1), можемо скласти рівняння нормалі:

y - y₁ = m₂(x - x₁)

y - 1 = (1/2)(x - 4)

y - 1 = (1/2)x - 2

y = (1/2)x - 1

Отже, рівняння касательної до еліпса у точці (4, 1) це y = -2x + 9, а рівняння нормалі це y = (1/2)x - 1.