Question

Найдите промежутки убывания и возрастания функции f(x) = x^3 – 4,5х^2+ 7 С пояснением прошу

Answer 1

1.  производная.

f′(x)=(x³ - 4,5х²+ 7)'=3x³⁻¹-2*4,5x =3x²-9x

2.Находим нули функции.  приравниваем производную к нулю

3x²-9x=0

3x*(x-3)=0

x₁=0, x₂=3

___0___3___

(-∞;0)(0;3)(3;+∞)

подставим в производную любую точку из промежутка:

f(-1)=3*(-1)²-9*(-1)=3+9=12  > 0

f'(1)=f(1)=3*1²-9*1=3-9=-6< 0

f'(4)= 3*4²-9*4=48-36=12> 0

(-∞;0) - возрастает

(0;3)- убывает

(3;+∞) возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков убывания и возрастания функции $f(x) = x^3 - 4.5x^2 + 7$, мы будем использовать производную функции. Промежутки возрастания функции будут соответствовать интервалам, на которых производная положительна, а промежутки убывания - интервалам, на которых производная отрицательна.

1. Начнем с вычисления производной $f'(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 9x$.

2. Теперь мы должны найти критические точки, где производная равна нулю:

$3x^2 - 9x = 0$.

Вынесем общий множитель 3x:

$3x(x - 3) = 0$.

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем найти критические точки:

a) $3x = 0 \Rightarrow x = 0$.

b) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Итак, у нас есть две критические точки: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Теперь создадим знаковую таблицу для производной. Выберем тестовые точки в интервалах между и за пределами критических точек:

• Возьмем точку $x = -1$ (меньше 0).
• Возьмем точку $x = 1$ (между 0 и 3).
• Возьмем точку $x = 4$ (больше 3).

Теперь вычислим знак производной $f'(x)$ в каждой из этих точек:

• $f'(-1) = 3(-1)^2 - 9(-1) = 3 + 9 = 12$ (положительное значение).
• $f'(1) = 3(1)^2 - 9(1) = 3 - 9 = -6$ (отрицательное значение).
• $f'(4) = 3(4)^2 - 9(4) = 48 - 36 = 12$ (положительное значение).

Теперь мы можем определить промежутки убывания и возрастания:

• $f'(x) > 0$ на интервалах $(- \infty, 0)$ и $(3, +\infty)$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на этих интервалах.
• $f'(x) < 0$ на интервале $(0, 3)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Итак, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(- \infty, 0)$ и $(3, +\infty)$, и убывает на интервале $(0, 3)$.