Question

Разложить на простейшие дроби x^2-1/x^4-8x^3+24x^2-32x+16

Answer 1

Ответ:

–6x – 4/x + 16

ответы сверху

Answer 2

Чтобы разложить данную рациональную функцию на простейшие дроби, нам нужно сначала разложить знаменатель (деноминатор) на множители и выразить его в виде суммы дробей с простейшими знаменателями. Затем мы можем найти коэффициенты этих дробей.

Давайте начнем с разложения знаменателя:

x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 = x^2(x^2 - 8x + 16) = x^2(x^2 - 4x - 4x + 16) = x^2[(x^2 - 4x) - (4x - 16)] = x^2(x(x - 4) - 4(x - 4)) = x^2(x - 4)^2

Теперь мы видим, что знаменатель можно записать в виде:

x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 = x^2(x - 4)^2

Итак, наш деноминатор - это x^2, умноженное на (x - 4)^2.

Теперь давайте выразим исходную рациональную функцию в виде суммы дробей:

x^2 - 1 / (x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16) = (x^2 - 1) / [x^2(x - 4)^2]

Теперь мы имеем два слагаемых в числителе: (x^2 - 1). Давайте разложим их на две простейшие дроби:

x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Теперь мы можем записать исходную функцию как сумму двух дробей:

[(x + 1)(x - 1)] / [x^2(x - 4)^2]

Итак, разложение данной рациональной функции на простейшие дроби выглядит следующим образом:

[(x + 1)(x - 1)] / [x^2(x - 4)^2] = A/x + B/x^2 + C/(x - 4) + D/(x - 4)^2

Теперь мы можем найти коэффициенты A, B, C и D, решив систему уравнений, подставив разложение обратно в исходное уравнение и сравнивая коэффициенты.