Question

Допоможіть будь ласка Завдання 2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y=x^2+1, x+y=3 Завдання 3. Обчислити об'єм тiла, утвореного при обертаннi навколо осі Ox: y=3x, y = 0, x = 2​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2.Підставляючи x + y = 3 у рівняння y = x^2 + 1, маємо:

x + (x^2 + 1) = 3

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Отже, x = -2 або x = 1.

Підставляючи x = -2 у рівняння y = x^2 + 1, маємо y = 5.

Підставляючи x = 1 у рівняння y = x^2 + 1, маємо y = 2.

Таким чином, ми маємо дві точки перетину: (-2, 5) та (1, 2).

Площа фігури обмеженої цими лініями дорівнює сумі площ трапеції та прямокутнику.

Площа трапеції = (сума паралельних сторін) × (висота) / 2

Висота трапеції = відстань між прямих x + y = 3 та y = x^2 + 1

Для знаходження відстані між цими прямими, ми можемо знайти точку їх перетину. Відстань між цими прямими дорівнює відстані між точкою перетину та прямою y = x^2 + 1.

Підставляючи x = 1 у рівняння y = x^2 + 1, маємо y = 2.

Відстань між точкою (1, 2) та прямою y = x^2 + 1 дорівнює |2 - (1^2 + 1)| = |2 - 2| = 0.

Таким чином, висота трапеції дорівнює 0.

Сума паралельних сторін трапеції = відстань між точками (-2, 5) та (1, 2)

Відстань між точками (-2, 5) та (1, 2) дорівнює √[(1 - (-2))^2 + (2 - 5)^2] = √(3^2 + (-3)^2) = √18.

Таким чином
2
Формула обертання тіла навколо осі Ox, якщо функція задана у вигляді y = f(x) на відрізку [a, b], має вигляд:

V = π∫[a,b] y^2 dx

У нашому випадку, функція задана як y = 3x та межі інтегрування [0, 2], тому:

V = π∫[0,2] (3x)^2 dx

V = π∫[0,2] 9x^2 dx

V = 9π∫[0,2] x^2 dx

V = 9π [(x^3)/3] [0,2]

V = 9π ((2^3)/3)

V = 24π

Тому об'єм тіла, утвореного при обертанні функції y = 3x навколо осі Ox дорівнює 24π.

Answer 2

Завдання 2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y = x^2 + 1 і x + y = 3.

Спочатку ми знайдемо точки перетину цих двох ліній. Після цього ми обчислимо площу обмеженої фігури за допомогою інтегралу.

1. Знайдемо точки перетину: x + y = 3 (1) y = x^2 + 1 (2)

Заміняємо y в рівнянні (1) за допомогою рівняння (2):

x + x^2 + 1 = 3

Піднімемо обидві сторони рівняння до квадрату:

x^2 + 2x + 1 = 9

x^2 + 2x - 8 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

(x + 4)(x - 2) = 0

Отже, маємо два значення x: x = -4 і x = 2.

2. Тепер обчислимо відповідні значення y, використовуючи рівняння (2):

Для x = -4: y = (-4)^2 + 1 = 17

Для x = 2: y = 2^2 + 1 = 5

Маємо дві точки перетину: (-4, 17) і (2, 5).

3. Тепер обчислимо площу обмеженої фігури за допомогою інтегралу. Площа обмеженої фігури дорівнює інтегралу від x = -4 до x = 2 різниці між функціями y = x^2 + 1 і y = 3 - x:

Площа = ∫[from -4 to 2] (x^2 + 1 - (3 - x)) dx

Обчислимо цей інтеграл:

Площа = ∫[from -4 to 2] (x^2 + 1 - 3 + x) dx = ∫[from -4 to 2] (x^2 + x - 2) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = [x^3/3 + x^2/2 - 2x] [від -4 до 2] = [(2^3/3 + 2^2/2 - 22) - ((-4^3/3 + (-4)^2/2 - 2(-4)))] = [(8/3 + 4 - 4) - (-64/3 + 8/2 + 8)] = [(8/3 + 4 - 4) + (-64/3 + 4 + 8)] = [8/3 + 0 + (-64/3 + 4 + 8)] = (8/3 - 64/3 + 4 + 8) = (-56/3 + 12) = -56/3 + 36/3 = -20/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 1 і x + y = 3, дорівнює -20/3.

Завдання 3. Обчислити об'єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Ox: y = 3x, y = 0, x = 2.

Ми будемо обчислювати об'єм цього тіла за допомогою інтегралу, використовуючи метод обертання вокруг осі Ox.

Об'єм тіла можна обчислити як інтеграл від 0 до 2 області, утвореної лінією y = 3x:

Об'єм = ∫[from 0 to 2] πy^2 dx

Замінимо y на 3x:

Об'єм = ∫[from 0 to 2] π(3x)^2 dx = ∫[from 0 to 2] π(9x^2) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Об'єм = π∫[from 0 to 2] 9x^2 dx

Обчислимо інтеграл:

Об'єм = π * [3x^3] [від 0 до 2] = π * [3(2^3) - 3(0^3)] = π * [3(8) - 3(0)] = π * (24 - 0) = 24π

Отже, об'єм тіла, утвореного при обертанні лінії y = 3x навколо осі Ox від 0 до 2, дорівнює 24π кубічних одиниць.