Question

Завдання 1. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння x√3 + y² + y√2 + x²dy=0.​

Answer 1

Поскольку 0 является константой относительно y, производная 0 относительно y равна 0.

0

Answer 2

Щоб знайти загальний інтеграл цього диференціального рівняння, спробуємо його інтегрувати.

Запишемо диференціальне рівняння:

x√3 + y² + y√2 + x²dy = 0

Для початку розділимо змінні, перемістивши члени з y на одну сторону, а члени з x на іншу сторону:

x√3 + x²dy = -y² - y√2

Тепер спробуємо згрупувати члени, щоб можна було інтегрувати:

x√3dx + x²dy = -y²dy - y√2dy

Розділимо обидві сторони на відповідні інтегруючі функції:

(x√3dx + x²dy) / (y² + y√2) = -dy

Тепер ми готові до інтегрування. Проінтегруємо обидві сторони:

∫((x√3dx + x²dy) / (y² + y√2)) = ∫(-dy)

Ліва сторона дорівнює інтегралу від ділення змінних x і y на відповідні інтегруючі функції, а права сторона просто інтеграл від -dy.

Тепер виконаємо інтегрування:

∫((x√3dx + x²dy) / (y² + y√2)) = -∫dy

Для лівої сторони розглянемо два окремі інтеграли:

∫(x√3dx / (y² + y√2)) + ∫(x²dy / (y² + y√2)) = -∫dy

Тепер інтегруємо кожен інтеграл окремо.

Перший інтеграл:

∫(x√3dx / (y² + y√2))

Щоб обчислити цей інтеграл, можна використовувати підстановку. Проведемо підстановку:

u = y² + y√2 du = (2y + √2)dy

Тепер змінимо змінну і перепишемо інтеграл:

∫(x√3dx / (y² + y√2)) = ∫(x√3dx / u)

Цей інтеграл легко обчислити:

∫(x√3dx / u) = √3∫(xdx / u)

√3∫(xdx / u) = √3ln|u| + C

Тепер підставимо назад вираз для u:

√3ln|u| + C = √3ln|y² + y√2| + C₁

Другий інтеграл:

∫(x²dy / (y² + y√2))

Щоб обчислити цей інтеграл, можна також використовувати підстановку. Проведемо підстановку:

v = y² + y√2 dv = (2y + √2)dy

Знову змінимо змінну і перепишемо інтеграл:

∫(x²dy / (y² + y√2)) = ∫(x²dy / v)

Цей інтеграл легко обчислити:

∫(x²dy / v) = x²∫(dy / v)

x²∫(dy / v) = x²ln|v| + C

Тепер підставимо назад вираз для v:

x²ln|v| + C = x²ln|y² + y√2| + C₂

Ліва сторона дорівнює сумі цих двох інтегралів, а права сторона залишається -∫dy:

√3ln|y² + y√2| + x²ln|y² + y√2| = -y + C

Тепер ми отримали загальний інтеграл диференціального рівняння:

(√3 + x²)ln|y² + y√2| = -y + C, де C = C₁ + C₂

Це загальний інтеграл даного диференціального рівняння.