Question

Знайдіть кут між висотою конуса і його твірною, якщо його висота дорівнює √3 см, а площа бічної поверхні – 6√3 см^2.

Answer 1

Ответ:

Для знаходження кута між висотою конуса і його твірною нам знадобиться використати теорему Піфагора.

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою: S = πrl, де r - радіус основи конуса, l - твірна конуса.

Ми знаємо, що площа бічної поверхні дорівнює 6√3 см^2.

6√3 = πrl

Також нам відомо, що висота конуса дорівнює √3 см.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження радіусу r:

r^2 + (√3)^2 = l^2

r^2 + 3 = l^2

Підставимо значення l^2 з другого рівняння в перше:

6√3 = πr√(r^2 + 3)

Після спрощення ми отримаємо:

36π^2(r^2 + 3) = 108r^2

36π^2r^2 + 108π^2 = 108r^2

(36π^2 - 108)r^2 = -108π^2

r^2 = (108π^2) / (108 - 36π^2)

r^2 = π^2 / (1 - π^2/3)

r^2 = π^2 / (3 - π^2)

r = √(π^2 / (3 - π^2))

Тепер, знаючи радіус r і висоту h, можемо знайти твірну l за допомогою теореми Піфагора:

l^2 = r^2 + h^2

l^2 = (√(π^2 / (3 - π^2)))^2 + (√3)^2

l^2 = π^2 / (3 - π^2) + 3

l^2 = (π^2 + 3(3 - π^2)) / (3 - π^2)

l^2 = (9 - 2π^2) / (3 - π^2)

Тепер ми можемо знайти тангенс кута α між висотою і твірною конуса:

tan(α) = h / l

tan(α) = √3 / √((9 - 2π^2) / (3 - π^2))

tan(α) = (√3 * √(3 - π^2)) / √(9 - 2π^2)

Отже, кут між висотою конуса і його твірною дорівнює:

α = arctan((√3 * √(3 - π^2)) / √(9 - 2π^2)

Answer 2

Для знаходження кута між висотою конуса і його твірною використаємо трикутник, утворений висотою, твірною та радіусом основи конуса. Ми можемо використовувати трикутник та теорему косинусів.

Позначимо:

• h - висота конуса (в нашому випадку √3 см).
• L - твірна конуса (що нас цікавить).
• r - радіус основи конуса (що також нам потрібно знайти).

Ми знаємо, що площа бічної поверхні конуса дорівнює 6√3 см^2. Площа бічної поверхні конуса може бути виражена так:

S = π * r * L,

де S - площа бічної поверхні, π - число пі, r - радіус основи, L - твірна конуса.

Ми маємо значення площі бічної поверхні (6√3) і висоту (√3). Таким чином:

6√3 = π * r * L.

Тепер ми можемо виразити радіус r відносно твірної L:

r = (6√3) / (π * L).

Тепер ми можемо використовувати трикутник та теорему косинусів:

cos(θ) = (h^2 + r^2 - L^2) / (2 * h * r),

де θ - кут між висотою і твірною.

Підставимо відомі значення:

cos(θ) = (√3^2 + ((6√3) / (π * L))^2 - L^2) / (2 * √3 * (6√3) / (π * L)),

cos(θ) = (3 + (36/π^2 * L^2) - L^2) / (2 * √3 * (6/π * L)),

cos(θ) = (3 + (36/π^2 * L^2) - L^2) / (12√3/π * L).

Тепер ми можемо обчислити значення косинуса кута θ:

cos(θ) = (3 + (36/π^2 * L^2) - L^2) / (12√3/π * L).

Тепер можна знайти кут θ, використовуючи обернену функцію косинуса (cos^-1):

θ = cos^-1((3 + (36/π^2 * L^2) - L^2) / (12√3/π * L)).

Підставимо значення L:

θ = cos^-1((3 + (36/π^2 * (√3)^2) - (√3)^2) / (12√3/π * √3)).

θ = cos^-1((3 + (36/π^2 * 3) - 3) / (12√3/π * √3)).

θ = cos^-1((3 + 36/π^2 * 3 - 3) / (12√3/π * √3)).

θ = cos^-1((36/π^2 * 3) / (12√3/π * √3)).

Зараз ми можемо спростити вираз:

θ = cos^-1((36/π^2 * 3) / (12√3/π * √3)).

θ = cos^-1((36/π^2) / (12√3)).

θ = cos^-1((3/π^2) / √3).

Тепер обчислимо значення кута θ:

θ ≈ cos^-1(0.545).

θ ≈ 58.33 градуси (заокруглено до двох десяткових знаків).

Отже, кут між висотою конуса і його твірною приблизно дорівнює 58.33 градуси.