Question

При якому найменшому цілому значенні параметра т нерівність х^2 – (3т + 1)х – т – 2 < 0 виконується для всіх х, які належать проміжку [0; 2]

Answer 1

Відповідь: t=1 найменше ціле.

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю. Це повне розв'язання. Але для данної нерівності можна після п.1, перейти до п. 4.

Answer 2

Для того щоб нерівність х^2 - (3т + 1)х - т - 2 < 0 була виконана для всіх х на проміжку [0; 2], дискримінант цього квадратного рівняння повинен бути менше або рівним нулю. Дискримінант D рівняння ax^2 + bx + c = 0 обчислюється за формулою D = b^2 - 4ac.

У нашому випадку a = 1, b = -(3т + 1), і c = -(т + 2).

Для того, щоб дискримінант був менше або рівним нулю, ми маємо:

D = (-3т - 1)^2 - 4(1)(-(т + 2)) ≤ 0

Розгорнемо дискримінант:

D = 9т^2 + 6т + 1 - 4т - 8 ≤ 0

Далі об'єднаємо подібні члени:

D = 9т^2 + 2т - 7 ≤ 0

Тепер ми маємо квадратне нерівність щодо параметра т. Для знаходження значень параметра т, при яких ця нерівність виконується, ми можемо використовувати методи аналізу знаків.

Спростимо нерівність, розкривши дужки:

9т^2 + 2т - 7 ≤ 0

Тепер розв'яжемо цю квадратну нерівність за допомогою методу інтервалів знакозміни:

1. Знайдемо критичні точки, де вираз на лівій стороні нерівності дорівнює нулю:

9т^2 + 2т - 7 = 0

Використовуючи квадратне рівняння, ми отримуємо дві критичні точки:

т₁ = (-2 + √79)/9 ≈ 0.567 т₂ = (-2 - √79)/9 ≈ -1.233

2. Тепер виберемо тестові точки в інтервалах, утворених критичними точками:

• Інтервал 1: т < -1.233 Виберемо тестову точку т = -2 (менше за т₁). Підставимо т = -2 у вираз і перевіримо знак: 9(-2)^2 + 2(-2) - 7 = 36 - 4 - 7 = 25 - 7 = 18 > 0 (позитивний)

• Інтервал 2: -1.233 < т < 0.567 Виберемо тестову точку т = 0 (між т₁ і т₂). Підставимо т = 0 у вираз і перевіримо знак: 9(0)^2 + 2(0) - 7 = 0 - 7 = -7 < 0 (від'ємний)

• Інтервал 3: т > 0.567 Виберемо тестову точку т = 1 (більше за т₂). Підставимо т = 1 у вираз і перевіримо знак: 9(1)^2 + 2(1) - 7 = 9 + 2 - 7 = 11 - 7 = 4 > 0 (позитивний)

З результатів тестів бачимо, що на інтервалах (-1.233, 0.567) та (0.567, ∞) нерівність виконується, а на інтервалі (-∞, -1.233) не виконується. Отже, найменше ціле значення параметра т, при якому нерівність виконується для всіх x з проміжку [0; 2], дорівнює 1.

Таким чином, т = 1.