Question

Знайдіть проміжки монотонності функції: y = x^3 − 4x^2 + 5x − 1

Answer 1

Відповідь: фото

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності функції $y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1$, спочатку знайдемо похідну цієї функції і визначимо її знаки на різних інтервалах. Знак похідної допоможе визначити, коли функція зростає або спада.

1. Знайдемо похідну функції $y$: $y' = \frac{d}{dx} (x^3 - 4x^2 + 5x - 1)$ Використовуючи правила диференціювання, отримаємо: $y' = 3x^2 - 8x + 5$

2. Тепер знайдемо точки, в яких $y'$ дорівнює нулю, розв'язавши рівняння $3x^2 - 8x + 5 = 0$: $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Можна застосувати квадратне рівняння або факторизацію, але в цьому випадку швидше за все доведеться використовувати квадратне рівняння:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Де $a = 3$, $b = -8$, і $c = 5$. Підставимо ці значення і розв'яжемо рівняння:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6}$

Знаходимо два корені:

1. $x_1 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
2. $x_2 = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Отже, ми маємо дві точки, в яких $y'$ дорівнює нулю: $x_1 = \frac{5}{3}$ і $x_2 = 1$.

3. Тепер давайте розглянемо проміжки між цими точками та поза ними і визначимо знаки похідної $y'$ на цих проміжках:

3.1. Для $x < 1$: Підставимо $x = 0$ в $y'$: $y'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5$, тобто $y'(x)$ додатня на цьому проміжку.

3.2. Для $1 < x < \frac{5}{3}$: Підставимо $x = 2$ в $y'$: $y'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 3(4) - 16 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1$, тобто $y'(x)$ додатня на цьому проміжку.

3.3. Для $x > \frac{5}{3}$: Підставимо $x = 2$ в $y'$: $y^{\mathrm{\prime }}(\frac{5}{3}$