Question

Дано паралелограм зі сторонами 6 см, 8 см і кутом між ними 60°. Обчислити площу його ортогональної проекції на площину, яка утворює з площиною паралелограма кут 30°. Допоможіть, будь ласка

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для обчислення площі ортогональної проекції паралелограма, спочатку нам потрібно знайти площу самого паралелограма.

Використовуючи формулу для площі паралелограма, ми можемо обчислити:

Площа паралелограма = основа * висота

Оскільки нам дано сторони паралелограма (6 см і 8 см) і кут між ними (60°), ми можемо використати тригонометрію для визначення висоти.

Висота = сторона * sin(кут між сторонами)

В нашому випадку:

Висота = 6 см * sin(60°) = 6 см * √3 / 2 = 3√3 см

Площа паралелограма = 8 см * 3√3 см = 24√3 см²

Тепер ми можемо обчислити площу ортогональної проекції. Площа проекції паралелограма на площину, яка утворює з площиною паралелограма кут 30°, буде дорівнювати площі самого паралелограма, помноженій на косинус кута між площинами.

Площа проекції = Площа паралелограма * cos(30°)

Площа проекції = 24√3 см² * cos(30°)

Значення косинуса 30° дорівнює √3 / 2.

Площа проекції = 24√3 см² * (√3 / 2) = 36 см²

Отже, площа ортогональної проекції паралелограма на площину, що утворює з площиною паралелограма кут 30°, дорівнює 36 квадратним сантиметрам.

Answer 2

Щоб знайти площу ортогональної проекції паралелограма на площину, яка утворює з площиною паралелограма кут 30°, спочатку розглянемо два вектори, що визначають паралелограм:

1. Вектори a та b - сторони паралелограма:

   a = 6 см (довжина)

   b = 8 см (довжина)

2. Кут між векторами a та b:

   φ = 60°

Ми можемо знайти площу паралелограма за формулою:

$S = |a \times b| \cdot \sin(φ)$

де "×" - це векторний добуток.

Тепер розглянемо площину, яка утворює кут 30° з площиною паралелограма. Назвемо цей кут α. Якщо альфа є кутом між проекцією паралелограма та його основою, то β = 90° - α буде кутом між площиною паралелограма і цією площиною.

Спочатку, знайдемо sin(α) та cos(α), використовуючи факт, що α + β = 90°:

$cos(α) = cos(90° - β) = sin(β)$

$sin(α) = sin(90° - β) = cos(β)$

Тепер, коли у нас є sin(α) та cos(α), ми можемо обчислити проекцію векторів a та b на площину, утворену кутом 30°:

$a' = a \cdot cos(α)$

$b' = b \cdot cos(α)$

Затім ми можемо знайти площу паралелограма, обмежену цими проекціями, використовуючи ту ж саму формулу, але замість векторів a та b, використовуємо вектори a' та b'. Позначимо цю площу як S':

$S' = |a' \times b'| \cdot \sin(φ)$

Де a' та b' - це нові вектори після проекції.

Нарешті, знаючи площу паралелограма та його проекції, ми можемо знайти площу ортогональної проекції, віднявши площу S' від площі S:

$S_{орт} = S - S'$

Після заміни відомих значень в рівняння, ви зможете знайти шукану площу ортогональної проекції паралелограма.