Question

Кривая проходит через точку A (2, 1/2) . В произвольной точке этой кривой проведена касательная, точка пересечения которой с осью ОХ имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую используя дифференциальное уравнение

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Пусть уравнение кривой имеет вид y = f(x). Тогда её производная в точке A равна:

f'(2) = dy/dx|_A = (1/2)' = 0.5

Уравнение касательной в точке A:

y - 1/2 = 0.5(x - 2)

y = 0.5x - 1

Пусть точка касания имеет координаты (a, b). Тогда точка пересечения с осью ОХ имеет координаты (2a, 0). Уравнение касательной также можно записать в виде:

y = f'(2)(x - 2) + 1/2

Подставляем a и b:

b = f(2)

b = f'(2)(a - 2) + 1/2

a = 4 - 2b

Подставляем это выражение в уравнение касательной:

y = 0.5(4 - 2b) - 1

y = 2 - b

Сравниваем это с уравнением кривой y = f(x). Видим, что f(x) = 2 - x. Ответ: y = 2 - x.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу с использованием дифференциального уравнения. Пусть у нас есть кривая, описываемая уравнением y = f(x), и мы хотим найти дифференциальное уравнение этой кривой. По условию, данная кривая проходит через точку A(2, 1/2), и у нас есть касательная, которая пересекает ось Ox в точке, где абсцисса вдвое больше, чем абсцисса точки касания.

Пусть (x, y) - произвольная точка на кривой, и (a, f(a)) - точка касания касательной. Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Так как точка касания находится на кривой, то она удовлетворяет уравнению кривой: f(a) = 1/2.

Также, мы знаем, что точка пересечения касательной с осью Ox имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания, то есть (2a, 0). Подставив это в уравнение касательной, получим:

0 - 1/2 = f'(a)(2a - a)

-1/2 = f'(a)a

Теперь мы имеем два уравнения:

1. f(a) = 1/2
2. -1/2 = f'(a)a

Давайте решим эти уравнения вместе. Сначала найдем производную f'(a):

f'(a) = -1/(2a)

Теперь мы можем решить второе уравнение:

-1/2 = -1/(2a) * a

-1/2 = -1/2

Это уравнение верно для любого значения a. Это означает, что f(a) = 1/2 для любого значения a, и, следовательно, кривая описывается уравнением:

y = 1/2

Таким образом, кривая, удовлетворяющая данным условиям, является горизонтальной линией, проходящей через точку A(2, 1/2).