Question

СРОООЧНООО СКОРО КОНЕЦ УРОКА ХЕЛП. У рівнобедреному трикутнику основа дорів кута при основі. Доведіть, що кут при основі трикутника удвічі більший за кут при його вершині

Answer 1

Ответ:

Позначимо вершину рівнобедреного трикутника як A, а основу як BC.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то AB = AC.

Нехай ∠BAC = α, ∠ABC = ∠ACB = β. Заявляється, що 2β = α.

Розглянемо трикутник ABC. Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусам, то маємо:

α + 2β = 180°

2β = 180° – α

β = (180° – α) / 2

Розглянемо трикутник ABD, де D - середина відрізка BC. Оскільки AD = BD (з рівнобедреності трикутника), а також ∠ABD = ∠BAD (кути, прилеглі до спільної сторони), то трикутник ABD також є рівнобедреним. Отже, ∠ADB = β.

Розглянемо трикутник ACD. Оскільки AD = AC (з рівнобедреності трикутника), а також ∠ADC = ∠ACD (кути, прилеглі до спільної сторони), то трикутник ACD також є рівнобедреним. Отже, ∠ADC = β.

Таким чином, в трикутнику ABD маємо ∠BDA = 180° – 2β, а в трикутнику ACD маємо ∠CDA = 180° – 2β.

Знову розглянемо трикутник ABC. Оскільки АD є бісектрисою кута CAB, то з теоремою про бісектриси в тркутниках маємо:

BD / CD = AB / AC

AB = AC;

BD = CD

Отже, маємо:

BD / CD = 1

BD = CD

Познач: ∠ABD = γ та ∠ACD = δ. Тоді з теоремою синусів маємо:

BD / sin γ = AD / sin β

CD / sin δ = AD / sin β

BD / CD = 1

Розділяємо перше рівняння на друге:

(sin γ / sin β) / (sin δ / sin β) = 1

sin γ / sin δ = 1

sin γ = sin δ

Таким чином, γ = δ або γ + δ = 180°. Але γ не може бути дорівнює δ, оскільки тоді ми отримаємо, що сторони трикутника ABC рівні між собою, а це суперечить умові задачі. Отже, маємо:

γ + δ = 180°

Замінюємо γ та δ на вирази, що ми знайшли раніше:

β + β = 180°

2β = 180°

β = 90°

Отже, кут при основі трикутника дорівнює 2β = 180° – α, а кут при вершині трикутника дорівнює α. Звідси, кут при основі трикутника удвічі більший за кут при його вершині:

2β = 180° – α

2(90°) = 180° – α

α = 180° - 180° / 2

α = 90°

Отже, кут при основі удвічі більший за кут при вершині.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Звісно, давайте доведемо це.

Нехай у нас є рівнобедрений трикутник ABC, де AB = AC (основа), і нехай D - середня точка основи BC. Ми хочемо довести, що кут BAC (кут при вершині) удвічі менший за кут BAD (кут при основі).

Давайте розглянемо рівність трикутників ABD і ACD, оскільки вони мають спільну сторону AD та спільний кут при вершині A (це кут BAC):

1. AB = AC (за умовою, оскільки це рівнобедрений трикутник).
2. AD = AD (спільна сторона).
3. BD = CD (оскільки D - середня точка BC).

За теоремою про рівність трьох сторін та двох кутів між ними, трикутники ABD і ACD рівні.

Тепер ми знаємо, що кут BAD (кут при основі) дорівнює куту CAD, оскільки це внутрішні кути трикутника ABD і ACD.

З цього випливає, що кут BAC (кут при вершині) удвічі менший за кут BAD (кут при основі), оскільки кути BAC і CAD рівні, і кут BAD дорівнює двом кутам CAD і ACD разом.

Таким чином, ми довели, що кут при основі трикутника удвічі більший за кут при його вершині.