Question

Сумма площадей всех треугольников, вершины которых также являются вершинами куба 1x 1 x1, равна , где m, n и p — целые числа. Найдите m+n+p

Answer 1

Мы можем получить три возможных типа треугольников

$1 \cdot 1 \cdot \sqrt2, 1 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt3, \sqrt2 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt2$

Чтобы получить первый тип, мы можем просто выбрать грань, а таких треугольников четыре, поэтому существует $6 \cdot 4 = 24$ способов получить этот треугольник, площадь которого составляет $\frac{1}{2}$. Чтобы получить второй тип, мы берем обе точки на одном из двенадцати ребер, а затем выбираем одну из двух вершин, которые отличаются по высоте, что дает снова $12 \cdot 2 = 24$ способов получить этот треугольник, площадь которого составляет $\frac{\sqrt2}{2}$. Наконец, чтобы получить третий тип, должно быть $56 - 24 - 24 = 8$ таких треугольников, имеющих площадь $\frac{\sqrt3}{2}$. Значит

$12+12\sqrt2+4\sqrt3 = 12 + \sqrt{288} + \sqrt{48}\Rightarrow 348$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно определить, сколько треугольников можно образовать, используя вершины куба 1x1x1. Куб имеет 8 вершин, и каждый треугольник можно образовать, соединяя 3 из этих вершин.

Чтобы найти общее количество треугольников, которые можно образовать из 8 вершин куба, используем сочетания. Формула для числа сочетаний из n элементов по k элементов:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В данном случае n = 8 (8 вершин куба) и k = 3 (3 вершины для треугольника):

C(8, 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!)

C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56

Таким образом, можно образовать 56 треугольников, используя вершины куба 1x1x1.

Теперь найдем сумму площадей всех этих треугольников. Поскольку размеры куба 1x1x1, каждый треугольник будет иметь одинаковую площадь. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

Поскольку все треугольники из куба будут равнобедренными, основание и высота будут равными 1 единице:

Площадь треугольника = (1/2) * 1 * 1 = 1/2 квадратных единицы.

Теперь найдем сумму площадей всех 56 треугольников:

Сумма площадей = 56 * (1/2) = 28 квадратных единиц.

Итак, сумма площадей всех треугольников равна 28 квадратным единицам.

Теперь найдем m + n + p:

m = 28, n = 0 (нет корней из 0), p = 0 (нет корней из 0).

Итак, m + n + p = 28 + 0 + 0 = 28.

Ответ: m + n + p = 28.