Question

А на вечірці у Вікторії було декілька столів, за кожним з яких сиділо певне число гостей. Відомо, що якщо б розсадити гостей за столи по 5 , то залишиться 1 гість, якщо по 6 — залишиться 2 гостя, а якщо по 7 — залишиться 5 гостей. Яка найменша кількість гостей могла бути на вечірці Вікторії?дам 40 балов

Answer 1

Відповідь:

На вечірці у Вікторії було 26 гостей.

Покрокове пояснення:

1) Перевіримо, чи є число гостей на вечірці у Вікторії парним чи непарним.

2) Позначимо через k – кількість столів за умови розсадки гостей по 5 осіб за кожен стіл. Число " 5 " - непарне. Відтак кількість гостей на вечірці у Вікторії дорівнює:

N = 5k + 1 - можливо як число парне так і число непарне:

а) множення непарного числа ( 5 ) на непарне число ( k ) дає в результаті непарне число ( 5k ); додавання до непарного числа ( 5k ) непарного числа ( 1 ) дає в результаті парне число ( N = 5k + 1 )

б) множення непарного числа ( 5 ) на парне ціле число ( k ) дає в результаті парне число ( 5k ); додавання до парного числа ( 5k ) непарного числа ( 1 ) дає в результаті непарне число ( N = 5k + 1 ).

3) Позначимо через l – кількість столів за умови розсадки гостей по 6 осіб за кожен стіл. Число " 6 " - парне. Відтак кількість гостей на вечірці у Вікторії дорівнює:

N = 6l + 2 - число парне ( множення парного числа ( 6 ) на будь-яке ціле число ( l ) дає в результаті парне число ( 6l ); додавання до парного числа ( 6l ) парного числа ( 2 ) дає в результаті парне число ( N = 6l + 2 ) ).

4) Позначимо через m – кількість столів за умови розсадки гостей по 7 осіб за кожен стіл. Число " 7 " - непарне. Відтак кількість гостей на вечірці у Вікторії дорівнює:

N = 7m + 5 - можливо як число парне так і число непарне ( пояснення аналогічно до пункту 2 ).

5) Виходячи з аналізу пунктів 2, 3 та 4 ясно, що число гостей на вечірці у Вікторії ( N ) парне.

6) За умови розсадки гостей по 5 осіб за кожен стіл, залишиться 1 гість, що сяде за незаповнений стіл. Так як число гостей парне, то єдиний варіант - число N закінчується на цифру 6 ( множення непарного числа ( 5 ) на непарне число ( k ) дає в результаті непарне число, що закінчується на цифру 5, додавання до числа 5 числа 1 дає число 6 ).

7) Якщо число N закінчується на цифру 6, то з другої умови ( за умови розсадки гостей по 6 осіб за кожен стіл, залишиться 2 гостя, що сядуть за незаповнений стіл ) отримуємо N = 6l + 2, що число 6l закінчується на 6 - 2 = 4. Це можливо якщо l = 4 ( 6 × 4 = 24 ) N = 24 + 2 = 26, або l = 9 ( 6 × 9 = 54, N = 54 + 2 = 56 ). Повний список рішень l = 4 + 5n ( l = 4, 9, 14, 19, 24, 29 тощо ).

8) Перевіримо виконання третьої умови ( за умови розсадки гостей по 7 осіб за кожен стіл, залишиться 5 гостей, що сядуть за незаповнений стіл ) отримуємо N = 7m + 5, що число 7m закінчується на 6 - 5 = 1. Це можливо якщо m = 3 ( 7m = 7 × 3 = 21, N = 21 + 5 = 26 ) або m = 13 ( 7m = 7 × 13 = 91, N = 91 + 5 = 96 ). Повний список рішень m = 3 + 10p ( m = 3, 13, 23, 33, 43, 53 тощо ).

9) У пунктах 8 і 9 ми знайшли загальне рішення, яке б задовольняло всім тим умовам: N = 26.

Перевірка:

1) N = 5k + 1 = 26

5k = 26 - 1 = 25

k = 25 / 5 = 5 столів по 5 гостей та залишається 1 гість.

2) N = 6l + 2 = 26

6l = 26 - 2 = 24

l = 24 / 6 = 4 стола по 6 гостей та залишається 2 гостя.

3) N = 7m + 5 = 26

7m = 26 - 5 = 21

m = 21 / 7 = 3 стола по 7 гостей та залишається 5 гостей.

Все правильно.

Answer 2

Давайте розглянемо цю задачу за допомогою кількості гостей, позначеної як N.

Ми знаємо, що, якщо розсадити гостей за столи по 5, залишиться 1 гість. Це означає, що кількість гостей N має бути наступним числом, яке на 5 ділиться і залишає залишок 1:

N ≡ 1 (mod 5)

Ми також знаємо, що, якщо розсадити гостей за столи по 6, залишиться 2 гостя. Це означає, що кількість гостей N має бути наступним числом, яке на 6 ділиться і залишає залишок 2:

N ≡ 2 (mod 6)

І, нарешті, ми знаємо, що, якщо розсадити гостей за столи по 7, залишиться 5 гостей. Це означає, що кількість гостей N має бути наступним числом, яке на 7 ділиться і залишає залишок 5:

N ≡ 5 (mod 7)

Тепер давайте знайдемо спільне рішення для всіх цих рівнянь. Для цього ми можемо використовувати китайську теорему про залишки.

Розглянемо систему рівнянь: N ≡ 1 (mod 5) N ≡ 2 (mod 6) N ≡ 5 (mod 7)

За допомогою китайської теореми про залишки можна знайти, що найменше число гостей, які задовольняють усім цим умовам, дорівнює 71.

Отже, найменша кількість гостей на вечірці Вікторії - це 71 особа.