Question

1.94*. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 3в степени n +3в степени n+ степень 1+3в степени n+степень 2 кратно 13.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся методом математической индукции. Метод математической индукции позволяет доказать утверждение для всех натуральных значений n.

1. Базовый шаг (n = 1): Для n = 1 выражение примет следующий вид: 3^1 + 3^1 + 1 + 3^1 + 2 = 3 + 3 + 1 + 3 + 2 = 12.

   Заметим, что 12 делится на 13 без остатка (12 = 13 * 0).

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть: 3^k + 3^k + 1 + 3^k + 2 кратно 13.

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение также верно для k + 1, то есть: 3^(k+1) + 3^(k+1) + 1 + 3^(k+1) + 2 кратно 13.

   Рассмотрим левую часть этого выражения: 3^(k+1) + 3^(k+1) + 1 + 3^(k+1) + 2

   Вынесем общий множитель 3^(k+1): 3^(k+1) * (1 + 1 + 1) + 3 + 2

   Упростим сумму в скобках: 3^(k+1) * 3 + 3 + 2

   Теперь факторизуем 3 из первого слагаемого: 3^k * 3 * 3 + 3 + 2

   Заметим, что первое слагаемое 3^k * 3 * 3 это 3^(k+1), и выражение становится: 3^(k+1) + 3 + 2

   Теперь мы видим, что это выражение можно записать в виде: (3^(k+1) + 3^k + 1) + (3^k + 2)

   По предположению индукции, первая скобка (3^(k+1) + 3^k + 1) кратна 13. Также заметим, что вторая скобка (3^k + 2) также кратна 13 (поскольку 3^k кратно 13).

   Следовательно, общее выражение кратно 13.

Таким образом, мы доказали по индукции, что при любом натуральном значении n значение выражения 3^ n + 3^ n + 1 + 3^ n + 2 кратно 13.