Question

Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей = (7 −3 5 −2)

Answer 1

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

︎︎

Answer 2

Матрица A перестановочная с матрицей B, если выполняется следующее равенство:

AB = BA

Для данной задачи, у нас есть матрица A:

A = (7 -3) (5 -2)

И нам нужно найти все матрицы B, которые перестановочны с матрицей A.

Для этого давайте предположим, что матрица B имеет следующий вид:

B = (x y) (z w)

Теперь мы можем записать уравнение AB = BA:

(7 -3) * (x y) = (x y) * (7 -3) (5 -2) (z w) (z w) (5 -2)

Умножение матриц происходит следующим образом:

(7x - 3z 7y - 3w) = (7x + 5y -3x - 2y) (5x - 2z 5y - 2w) (5z + 5w -2z - 2w)

Теперь мы можем сравнивать соответствующие элементы обеих сторон уравнения:

1. 7x - 3z = 7x + 5y
2. 7y - 3w = -3x - 2y
3. 5x - 2z = 5z + 5w
4. 5y - 2w = -2z - 2w

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. 7x - 3z = 7x + 5y Здесь 7x отменяется, и мы остаемся с -3z = 5y. Это уравнение может быть удовлетворено, если z = -5/3y.

2. 7y - 3w = -3x - 2y Здесь 7y отменяется, и мы остаемся с -3w = -3x - 2y. Это уравнение может быть удовлетворено, если w = x + (2/3)y.

3. 5x - 2z = 5z + 5w Здесь 5x отменяется, и мы остаемся с -2z = 5z + 5w. Это уравнение может быть удовлетворено, если z = -5/7w.

4. 5y - 2w = -2z - 2w Здесь -2w отменяется, и мы остаемся с 5y = -2z. Это уравнение может быть удовлетворено, если y = -2/5z.

Итак, мы получили следующие соотношения:

• z = -5/3y
• w = x + (2/3)y
• z = -5/7w
• y = -2/5z

Зная эти соотношения, мы можем выразить матрицу B в зависимости от переменных y и z:

B = (x y) (z w)

Используя соотношения, полученные выше, мы можем записать B следующим образом:

B = (x -2/5z) (-5/3y x + (2/3)y)

Таким образом, это все матрицы B, которые перестановочны с данной матрицей A.