Question

Производный ; е^y=4x-7y

Answer 1

$1\; sposob:\; \; \; e^{y}=4x-7 \\ \\ e^{y}\cdot y'=4\\\\y'= \frac{4}{e^{y}} = \frac{4}{4x-7} \\\\2\; sposob:\; \; e^{y}=4x-7\; \; \to \; \; \; y=ln(4x-7)\\\\y'=\frac{1}{4x-7}\cdot (4x-7)'= \frac{4}{4x-7}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y относительно x, заданной уравнением $e^y = 4x - 7y$, следует использовать правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции $f(g(x))$ выражается как $f'(g(x)) \cdot g'(x)$, где $f'(u)$ - производная функции $f$ по переменной $u$, а $g'(x)$ - производная функции $g$ по переменной $x$.

Давайте начнем с выражения $e^y = 4x - 7y$ и возьмем производную от обеих сторон по $x$:

$\frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (4x - 7y)$

Сначала найдем производную левой стороны. Правило дифференцирования сложной функции гласит, что производная $e^u$ равна $e^u$ умноженной на производную $u$ по $x$:

$\frac{d}{dx} (e^y) = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$

Для правой стороны просто используем правило линейной дифференциации:

$\frac{d}{dx} (4x - 7y) = 4 - 7\frac{dy}{dx}$

Теперь у нас есть две выражения:

$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 4 - 7\frac{dy}{dx}$

Чтобы найти производную $\frac{dy}{dx}$, выразим её из уравнения:

$e^y \cdot \frac{dy}{dx} + 7\frac{dy}{dx} = 4$

$\frac{dy}{dx} (e^y + 7) = 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{e^y + 7}$

Таким образом, производная функции $y$ по $x$ равна $\frac{4}{e^y + 7}$, где $y$ удовлетворяет уравнению $e^y = 4x - 7y$.