Question

Вычислить площадь фигура огран. Линиями y=1/2x(во второй степени) y=4-x

Answer 1

1) Пределы интегрирования. Решение уравнения
1/2*x² = x- 4
x1 = 0 x2 =2
2) Площадь фигуры - разность площадей функций -интеграл разности функций
$S= \int\limits^2_0 { \frac{x^2}{2}- x} \, dx =- \frac{x^3}{6}+ x^{2} =2/3$
ОТВЕТ S=2/3.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность уравнений по x в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений:

1. y = (1/2)x^2
2. y = 4 - x

Подставив второе уравнение в первое:

(1/2)x^2 = 4 - x

Умножим обе стороны на 2:

x^2 = 8 - 2x

Переносим все в одну сторону:

x^2 + 2x - 8 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Применяя квадратное уравнение, получим два значения x:

x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1) x = (-2 ± √(4 + 32)) / 2 x = (-2 ± √36) / 2 x = (-2 ± 6) / 2

Таким образом, x = 2 или x = -4.

Подставив найденные значения x во второе уравнение, найдем соответствующие значения y:

Для x = 2: y = 4 - x = 4 - 2 = 2

Для x = -4: y = 4 - x = 4 - (-4) = 8

Итак, точки пересечения: (2, 2) и (-4, 8).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Площадь будет равна разности интегралов:

Площадь = ∫[a, b] [(1/2)x^2 - (4 - x)] dx,

где a = -4 и b = 2 (границы интегрирования, определенные по x).

Подставляя значения и интегрируя, получим:

Площадь = ∫[-4, 2] [(1/2)x^2 - 4 + x] dx = [(1/6)x^3 - 4x + (1/2)x^2] | от -4 до 2 = [(1/6)(2^3) - 4(2) + (1/2)(2^2)] - [(1/6)(-4^3) - 4(-4) + (1/2)(-4^2)] = [8/6 - 8 + 4] - [-64/6 + 16 - 32] = [4/3 - 8 + 4] - [-32/3 + 16 - 32] = 4/3 - 8 + 4 + 32/3 - 16 + 32 = 4/3 + 32/3 + 4 + 32 - 16 - 8 = 36 + 12 = 48.

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 48 квадратным единицам.