Question

Log_4(x^2-9)-log_4(2x-9)=2 Прошу не через ОДЗ

Answer 1

Применены свойства логарифмов

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$\log_4(x^2 - 9) - \log_4(2x - 9) = 2$.

Сначала объединим логарифмы по правилу разности логарифмов:

$\log_4 \left(\frac{x^2 - 9}{2x - 9}\right) = 2$.

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в четвертую степень:

$\frac{x^2 - 9}{2x - 9} = 4^2$.

Упростим правую сторону:

$\frac{x^2 - 9}{2x - 9} = 16$.

Теперь умножим обе стороны уравнения на $2x - 9$:

$x^2 - 9 = 16(2x - 9)$.

Раскроем скобку справа:

$x^2 - 9 = 32x - 144$.

Переносим все члены в левую часть:

$x^2 - 32x + 135 = 0$.

Теперь можем попробовать решить это квадратное уравнение. Мы ищем два числа, которые при перемножении дают $135$ и при сложении дают $-32$. Эти числа - $-27$ и $-5$. Таким образом, разложим левую часть уравнения на множители:

$(x - 27)(x - 5) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения $x$:

$x = 27$ или $x = 5$.

Проверим оба значения подстановкой в исходное уравнение:

1. При $x = 27$:

$\log_4(27^2 - 9) - \log_4(2 \cdot 27 - 9) = \log_4(720) - \log_4(45)$.

$\log_4(720) - \log_4(45) = \log_4\left(\frac{720}{45}\right) = \log_4(16) = 2$.

2. При $x = 5$:

$\log_4(5^2 - 9) - \log_4(2 \cdot 5 - 9) = \log_4(16) - \log_4(1) = 2 - 0 = 2$.

Оба значения $x = 27$ и $x = 5$ удовлетворяют исходному уравнению $\log_4(x^2 - 9) - \log_4(2x - 9) = 2$, следовательно, это верные решения.