Question

Чему будет равна производная и ее вторая производная? (e^(-x^2))*sinx

Answer 1

Вот производная от произведения

Answer 2

Давайте найдем производные функции $f(x) = e^{-x^2} \cdot \sin(x)$ по порядку.

1. Первая производная: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x^2} \cdot \sin(x) \right)$

Для этого воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$

Где $u = e^{-x^2}$ и $v = \sin(x)$.

Производная $u'$ будет: $u' = \frac{d}{dx} \left( e^{-x^2} \right) = -2x \cdot e^{-x^2}$

А производная $v'$ равна: $v' = \frac{d}{dx} \left( \sin(x) \right) = \cos(x)$

Теперь применим правило производной произведения: $f'(x) = u'v + uv' = -2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sin(x) + e^{-x^2} \cdot \cos(x)$

2. Вторая производная: Для нахождения второй производной применяем правило второй производной произведения: $(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$

Где $u' = -2x \cdot e^{-x^2}$, $v' = \cos(x)$ и $u = e^{-x^2}$.

Производная $u''$ будет: $u'' = \frac{d}{dx} \left( -2x \cdot e^{-x^2} \right) = (-2 + 4x^2) \cdot e^{-x^2}$

А производная $v''$ равна: $v'' = \frac{d}{dx} \left( \cos(x) \right) = -\sin(x)$

Теперь применим правило второй производной произведения: $f''(x) = u''v + 2u'v' + uv'' = (-2 + 4x^2) \cdot e^{-x^2} \cdot \cos(x) + 2 \cdot (-2x \cdot e^{-x^2}) \cdot \cos(x) - e^{-x^2} \cdot \sin(x)$

Таким образом, первая производная $f'(x)$ равна: $f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sin(x) + e^{-x^2} \cdot \cos(x)$