Question

Постройте график функции y=x^2-2x-3. с помощью графика найдите: а) значение функции, соответствующее значению аргумента равному -1.5; б) значение аргумента, при котором y= -2; в)нули функции г)промежутки знакопостоянства функции; д) промежутки возрастания и убывания функции; е) область значения функции. Вроде все))))

Answer 1

График функции y = x² - 2x - 3 это парабола ветвями вверх.

а) значение функции, соответствующее значению аргумента равному -1.5;
Подставим х = -1,5 в уравнение:
y=(-1,5)²-2*(-1,5)-3 = 2,25.
б) значение аргумента, при котором y= -2;
Составляем уравнение: -2 = x² - 2x - 3.
y = x² - 2x - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)²-4*1*(-1)=4-4*(-1)=4-(-4)=4+4=8;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√8-(-2))/(2*1)=(√8+2)/2=√8/2+2/2=√8/2+1 ≈ 2,4142136;
x_2=(-√8-(-2))/(2*1)=(-√8+2)/2=-√8/2+2/2=-√8/2+1 ≈ -0,4142136.
в)нули функции.
Для этого приравниваем функцию нулю:
x² - 2x - 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-(-2))/(2*1)=(4-(-2))/2=(4+2)/2=6/2=3;
x_2=(-√16-(-2))/(2*1)=(-4-(-2))/2=(-4+2)/2=-2/2=-1.
г) промежутки знакопостоянства функции;
y > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-1) ∪ (3;+∞),
y< 0 ⇒ x ∈ (-1;3).
д) промежутки возрастания и убывания функции;
Находим вершину параболы: Хо = -в/2а = 2/(2*1) = 1.
Функция убывает при x ∈ (-∞;1) и возрастает при х ∈ (1;+∞). 
е) область значений функции.
Находим минимальное значение функции в её вершине:
Уо = 1² - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.
Отсюда ответ: y ∈ R, y ≥ -4.

Answer 2

К сожалению, я не могу непосредственно построить графики, так как моя текстовая форма не позволяет визуального представления. Однако, я могу помочь вам с анализом функции $y = x^2 - 2x - 3$ и ответить на ваши вопросы.

а) Чтобы найти значение функции при $x = -1.5$, подставьте это значение в уравнение:

$y = (-1.5)^2 - 2(-1.5) - 3$ $y = 2.25 + 3 - 3$ $y = 2.25$

Таким образом, $y$ при $x = -1.5$ равно 2.25.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором $y = -2$, подставьте $y = -2$ в уравнение:

$-2 = x^2 - 2x - 3$ $x^2 - 2x + 1 = 0$ $(x - 1)^2 = 0$

Отсюда видно, что $x = 1$.

в) Нули функции - это значения $x$, при которых $y = 0$. Решим уравнение:

$0 = x^2 - 2x - 3$ $x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или других методов. Один из способов:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где в данном случае $a = 1$, $b = -2$, и $c = -3$. Подставляем:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$ $x = \frac{2 \pm 4}{2}$

Итак, получаем два значения: $x = 3$ и $x = -1$. Это нули функции.

г) Промежутки знакопостоянства функции можно определить, изучая знак производной. Производная функции $y = x^2 - 2x - 3$ равна $y' = 2x - 2$. Давайте определим, когда она положительна и когда отрицательна:

$2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 1$ (функция положительна на интервале $x > 1$) $2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1$ (функция отрицательна на интервале $x < 1$)

д) Промежутки возрастания и убывания функции определяются также через производную:

$y' > 0 \Rightarrow 2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 1$ (функция возрастает на интервале $x > 1$) $y' < 0 \Rightarrow 2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1$ (функция убывает на интервале $x < 1$)

е) Область значений функции $y = x^2 - 2x - 3$ определяется её графиком. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, а при уменьшении $x^2$, значение функции уменьшается, область значений будет вся числовая прямая, начиная с минимального значения, которое достигается в вершине параболы, и уходя в бесконечность.

Это основные шаги по анализу данной функции. Надеюсь, это поможет вам лучше понять её свойства.