Question

Неприрывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей f(x)=2/π*cos^2 x в интервале (-π/2; π/2); вне этого интерва f(x)=0. Найти вероятность того, что в 3х независимых испытаниях н. сл. величины X примет ровно два раза значение, принадлежащее интервалу (0, π/4).

Answer 1

$P(0\ \textless \ X\ \textless \ \frac{ \pi }{4} )= \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {f(x)} \, dx = { \frac{2}{ \pi } \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 Cos^{2}x} \, dx ={ \frac{2}{ \pi } \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 \frac{Cos2x+1}{2} } \, dx =$  $\frac{1}{ \pi } ( \frac{1}{2}Sin 2x+x)|_{0}^{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{1}{ \pi } [( \frac{1}{2} Sin \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} )-(Sin0+0)]=\frac{1}{ \pi } ( \frac{1}{2} +\frac{ \pi }{4})=$ $\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4}$
$P_{3}(2)=C_{3}^{2}p ^{2} q$
$C_{3}^{2}= \frac{3!}{1!*2!} = \frac{1*2*3}{1*1*2} =3$
$p=\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4} \\ q=1-p=1-(\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4})=(\frac{3}{4}-\frac{1}{2 \pi })$
$P_{3}(2)=3(\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4} )^{2}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2 \pi })$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как нам нужно найти вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение (принадлежащее интервалу (0, π/4)) в определенное количество испытаний (2 раза) из общего числа испытаний (3).

Давайте обозначим вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (0, π/4) как p, а вероятность того, что она не примет это значение (примет значение из интервала (π/4, π/2)) как q = 1 - p.

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности:

P(ровно 2 раза из 3 X примет значение из интервала (0, π/4)) = C(3, 2) * p^2 * q^(3-2)

Где C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е. количество способов выбрать k элементов из n элементов без учета порядка).

В данной задаче, C(3, 2) = 3, так как есть 3 способа выбрать 2 испытания из 3.

Таким образом, вероятность будет:

P = 3 * p^2 * q

Мы знаем, что плотность распределения вероятностей f(x) равна 2/π * cos^2(x) в интервале (-π/2, π/2), иначе 0. Мы хотим найти вероятность для интервала (0, π/4), так что нам нужно проинтегрировать плотность в этом интервале:

∫[0, π/4] (2/π * cos^2(x)) dx = (2/π) * ∫[0, π/4] cos^2(x) dx

Для интегрирования cos^2(x) можно использовать формулу половинного угла: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2. Таким образом, интеграл будет:

(2/π) * (1/2) * ∫[0, π/4] (1 + cos(2x)) dx

Вычисляя этот интеграл:

(1/π) * [(x + (1/2) * sin(2x))] от 0 до π/4 = (1/π) * [(π/4 + (1/2) * sin(π/2)) - (0 + (1/2) * sin(0))] = (1/π) * [(π/4 + 1/2) - 0] = (1/π) * (π/4 + 1/2) = 1/4 + 1/(2π)

Таким образом, мы получили значение p, вероятности того, что случайная величина X примет значение из интервала (0, π/4), а значение q будет 1 - p.

Теперь мы можем подставить значения p и q в формулу для вероятности P:

P = 3 * p^2 * q = 3 * (1/4 + 1/(2π))^2 * (1 - (1/4 + 1/(2π)))

Теперь остается только вычислить данное выражение:

P = 3 * (1/4 + 1/(2π))^2 * (1 - (1/4 + 1/(2π))) P = 3 * (1/16 + 1/(4π) + 1/(4π^2)) * (1 - 1/4 - 1/(2π)) P = 3 * (1/16 + 1/(4π) + 1/(4π^2)) * (3/4 - 1/(2π))

После упрощения:

P = 9/16 - 3/(8π) + 3/(8π^2) - 3/(8π) + 3/(4π^2) - 3/(4π^3) P = 9/16 - 6/(8π) + 6/(8π^2) - 3/(4π^3)

Таким образом, вероятность того, что в 3 независимых испытаниях случайная величина X примет ровно два раза значение из интервала (0, π/4), равна 9/16 - 6/(8π) + 6/(8π^2) - 3/(4π^3).