Question

Помогите решить методом понижения: y''^2=4*(y'-1)

Answer 1

$z=y' \\ z'=2 \sqrt{z-1} \\ \frac{dz}{dx} = 2 \sqrt{z-1} \\ \int \frac{d(z-1)}{2 \sqrt{z-1} } =\int dx \\ \sqrt{z-1} =x+C_1 \\ z=(x+C_1)^2+1 \\ y'=(x+C_1)^2+1 \\ \frac{dy}{dx} =(x+C_1)^2+1 \\ \int dy = \int (x^2+2C_1x+C_1^2+1)dx \\ y= \frac{x^3}{3} +C_1x^2+(C_1^2+1)+C_2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями методом понижения порядка (или методом замены переменных) можно ввести новую функцию, которая позволит упростить уравнение и свести его к более простой форме. Для этого предлагается следующая замена:

Пусть $v = y'$, тогда $y'' = \frac{dv}{dx}$.

Подставляем эту замену в исходное уравнение: $\left( \frac{dv}{dx} \right)^2 = 4(v - 1)$

Теперь это уравнение можно решить относительно $v$, а затем найти функцию $y$ через интегрирование.

Решим уравнение относительно $v$: $\frac{dv}{dx} = \pm 2\sqrt{v - 1}$

Разделим переменные и проинтегрируем: $\int \frac{1}{2\sqrt{v - 1}} \, dv = \pm \int dx$

$\sqrt{v - 1} = \pm x + C_1$

Раскроем корень: $v - 1 = x^2 \pm 2xC_1 + C_1^2$

$v = x^2 \pm 2xC_1 + C_1^2 + 1$

Вернемся к начальной замене $v = y'$: $y' = x^2 \pm 2xC_1 + C_1^2 + 1$

Теперь мы имеем уравнение для $y'$. Для нахождения $y$ проинтегрируем это уравнение: $y = \int \left( x^2 \pm 2xC_1 + C_1^2 + 1 \right) \, dx$

$y = \frac{x^3}{3} \pm C_1x^2 + C_1^2x + x + C_2$

Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Итак, общее решение уравнения $y''^2 = 4(y' - 1)$ выглядит следующим образом: $y(x) = \frac{x^3}{3} \pm C_1x^2 + C_1^2x + x + C_2$

Это общее выражение для всех решений данного дифференциального уравнения.