Question

Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 21 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. 

Answer 1

Расстояние АВ  = 1 (целая)
I авто :
Скорость  V₁ = х км/ч
Время на весь путь  t₁  =  ¹/ₓ   ч.

II авто :
I половина пути (¹/₂   пути) :
V₂   =  70  км/ч
t₂  = 1/2  : 70  = 1/2  *  1/70 = 1/140  ч.
II половина пути  (¹/₂  пути)
 V₃ =  (x +21) км/ч
t₃  = 1/2   :   (х + 21) = 1/2  * 1/(x+21) = 1/(2x+42)

По условию :
t₁  = t₂ +t₃
 
Уравнение.
1/140  + 1/(2x+42) =1/х      | *  140х(2х+42)
Знаменатели не должны быть равны 0 
2х +42 ≠ 0   ⇒  х≠ - 21
х≠0
х(2х + 42)  + 140х = 140(2х+42)
2х²  + 42х  +140х = 280х  + 5880
2х²  + 182х  -  280х  - 5880 =0
2х²  - 98х  - 5880 = 0
2(х² -49х - 2940) = 0         |÷2
x²  - 49x  - 2940  =0
D = (-49)² - 4*1*(-2940) = 2401+11760 = 14161=119²
D>0  - два корня уравнения
х₁= (49-119)/(2*1) =   -70/2  =  - 35   не удовлетворяет условию задачи
х₂ = (49+119) / (2*1) =  168/2 = 84  (км/ч) V₁ 
Проверим:
1/140  +   1/2(84+21)    =   1/140  + 1/210 = 3/420 + 2/420 = 5/420 = 1/84 (ч.)

Ответ:  84 км/ч скорость I автомобилиста.

Answer 2

Обозначим расстояние от A до B как "d". Пусть скорость первого автомобилиста (который проехал весь путь) будет "v" км/ч.

Второй автомобилист проехал первую половину пути, то есть d/2, со скоростью 70 км/ч. Затем он проехал вторую половину пути, также d/2, со скоростью на 21 км/ч больше скорости первого автомобилиста (то есть v + 21 км/ч).

Для второго автомобилиста время пути можно выразить следующим образом:

Время для первой половины пути: (d / 2) / 70. Время для второй половины пути: (d / 2) / (v + 21).

Суммируя оба времени, получим общее время пути для второго автомобилиста:

T = (d / 2) / 70 + (d / 2) / (v + 21).

Для первого автомобилиста время пути будет:

T = d / v.

Поскольку оба автомобилиста прибыли в точку B одновременно, их времена пути должны быть равны:

(d / 2) / 70 + (d / 2) / (v + 21) = d / v.

Теперь решим это уравнение относительно v:

(d / 2) / 70 + (d / 2) / (v + 21) = d / v.

Первый шаг: Умножим все части уравнения на 70v(v + 21), чтобы избавиться от знаменателей:

v(v + 21)(d / 2) / 70 + v(v + 21)(d / 2) / (v + 21) = v(v + 21)(d / v).

Сократим v(v + 21) в первом члене:

(d / 2) * v + v(d / 2) = d(v + 21).

Раскроем скобки:

(dv / 2) + (vd / 2) = dv + 21d.

Сократим dv/2 и vd/2:

dv + vd = dv + 21d.

Теперь выразим v отсюда:

dv + vd - dv = 21d, vd = 21d, v = 21.

Итак, скорость первого автомобилиста составляет 21 км/ч.