Question

Найдите наибольшее натуральное значение n такое, что 120! делится без остатка на 12^n. ! - факториал. т.е. 120!=1*2*3*4*....*120 Заранее спасибо

Answer 1

Числа, которые делятся на 3: 40

числа, которые делятся на 9: 13

числа, которые делятся на 27: 4

числа, которые делятся на 81: 1

Всего 40 + 13 + 4 + 1 = 58 троек

числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4: 30

числа, которые делятся на 4: 30

числа, которые делятся на 16: 7

числа, которые делятся на 64: 1

всего 15 + 30 + 7 + 1 = 53 четверки

т.е. пар 3*4 можно составить 53

Ответ: n = 53

Answer 2

Чтобы найти наибольшее натуральное значение n, при котором 120! делится без остатка на 12^n, нам нужно разложить числа 12 и 120 на их простые множители и выяснить, сколько раз присутствует простой множитель 2 в разложении факториала.

Сначала разложим 12 на простые множители: 12 = 2^2 * 3^1

Теперь разложим 120 на простые множители: 120 = 2^3 * 3^1 * 5^1

Для того чтобы 120! делилось без остатка на 12^n, количество простых множителей 2 в разложении 120! должно быть не меньше, чем количество простых множителей 2 в разложении числа 12^n. То есть, нужно удостовериться, что количество троек (2^2) в разложении 120! не меньше 3 (потому что 12^3 = 2^6 * 3^3).

В разложении 120! на простые множители: 120! = 2^x * 3^y * ...

Мы знаем, что x - это количество простых множителей 2 в разложении 120!. Так как в разложении 120! есть более чем достаточно троек (2^2), нам нужно только убедиться, что x ≥ 6. Таким образом, самое большое натуральное значение n будет 6.

Итак, наибольшее натуральное значение n равно 6: 120! делится без остатка на 12^6.