Question

Шістнадцять футбольних команд із шістнадцяти країн провели турнір. Кожна команда зіграла з кожною по одному матчу. Чи могло виявитися так, що кожна команда зіграла в усіх країнах, крім своєї? Відповідь обґрунтуйте.

Answer 1

Нет.

Пусть так произошло. Рассмотрим какую-нибудь страну. На каждый матч в неё приезжали две команды, при этом команды не повторялись, значит, число посетивших её команд чётное. С другой стороны, страну по разу посетила каждая из команд-не-хозяек, а их 15 — нечётное число. Противоречие.

Answer 2

Ні, неможливо, щоб кожна команда зіграла в усіх країнах, крім своєї, у турнірі з 16 футбольних команд. Давайте розглянемо це ближче.

Якщо кожна команда мала б зіграти з усіма іншими командами, то загальна кількість матчів у турнірі була б дорівнювала кількості можливих поєдинків між командами. Формула для визначення кількості можливих поєдинків між n командами називається числом комбінацій, і вона обчислюється за формулою nC2 = n! / (2! * (n - 2)!), де n! - факторіал числа n.

В даному випадку, n = 16, отже, кількість можливих поєдинків між командами була б 16C2 = 120.

За умовою задачі, кожна команда зіграла з кожною по одному матчу, отже, загальна кількість матчів була б рівно 16 (оскільки кожна команда має зіграти один раз з кожною іншою командою).

Отже, виявляється, що неможливо провести всі 120 матчів між 16 командами у форматі "кожен з кожним". Це означає, що немає можливості, щоб кожна команда зіграла в усіх країнах, крім своєї, в турнірі з 16 командами.