Question

У нумизмата 150 монет. Он пытается расположить их на 10 страницах альбома, причем так, чтобы на каждой следующей странице монет было больше, чем на предыдущей. После долгих мучений ему этот удалось. Оказалось, что количество монет на первой странице составляет не менее половины от количества монет на 10-й странице. Сколько монет на 6-й странице?

Answer 1

Предположим, что на первой странице х монет, а на каждой следующей на 1 больше. Т.е.:
1. x
2. x+1
3. x+2
....
9. x+8
10. x+9
Просуммируем:
10х + 45 = 150;   х = 10,5
Т.к. больше чем 10,5 монет на первой странице не м.б., то принимаем х=10.
Получаем такой последовательный ряд:
10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
Сумма такого ряда равна 145, не хватает 5 монет. Ещё замечаем, что число монет на первой странице больше половины монет на десятой странице. А уменьшение числа монет на первой странице, с последующим распределением оставшихся 5 монет и число монет, на которое уменьшили на первой странице, приведёт к тому, что на первой странице окажется монет меньше половины числа монет на 10-й странице.
Т.о. на первой странице м.б. только 10 монет. Поэтому на десятой странице не м.б. монет больше 20. Отсюда, к десятой странице добавляем 1 монету. Оставшиеся четыре раскидываем на предпоследние страницы. В итоге, 150 монет распределятся так:
10,11,12,13,14,16,17,18,19,20
Как видим, на 6-й странице 16 монет.

Ответ: 16

Answer 2

Обозначим количество монет на первой странице как "а", а количество монет на 10-й странице как "b".

Известно, что:

1. a + b = 150 (всего 150 монет).
2. a ≥ 0.5b (количество монет на первой странице не менее половины от количества монет на 10-й странице).

Также известно, что на каждой следующей странице монет должно быть больше, чем на предыдущей. Так как у нас всего 10 страниц, это означает, что мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией.

Количество монет на каждой странице можно представить как "a", "a + d", "a + 2d", ..., "a + 9d", где "d" - это разность между количеством монет на соседних страницах.

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 150
2. a + 9d > a + 8d > a + 7d > a + 6d > a + 5d > a + 4d > a + 3d > a + 2d > a + d > a

Так как a + b = 150, можно выразить "b" через "a" из первого уравнения: b = 150 - a.

Из второго уравнения видно, что "a + 9d" (количество монет на 10-й странице) должно быть больше "a" (количество монет на первой странице), следовательно, "9d" должно быть положительным.

Совмещая это с неравенством a ≥ 0.5b, можно записать следующее неравенство: a ≥ 0.5(150 - a) a ≥ 75 - 0.5a 1.5a ≥ 75 a ≥ 50

Таким образом, минимальное значение для "a" (количество монет на первой странице) - это 50.

Подставив значение "a" в первое уравнение, получим: b = 150 - 50 b = 100

Теперь мы знаем, что на первой странице 50 монет, а на 10-й странице 100 монет.

Разность "d" между последовательными страницами можно вычислить, разделив разницу в количестве монет на количество "шагов" (в данном случае, 9): d = (100 - 50) / 9 d = 5

Теперь мы можем вычислить количество монет на 6-й странице: a + 5d = 50 + 5 * 5 = 50 + 25 = 75

Итак, на 6-й странице будет 75 монет.