Question

Очень нужно. 50 баллов! Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями х^2=2у-1 и у=2

Answer 1

Найди точки пересечения кривой У1 и прямой У2=3/4X-5/4 (это будут х1 х2)
Тогда объем будет равен определенному интегралу в пределах от х1 до х2 от
pi*(Y2^2-Y1^2)dx

Answer 2

Чтобы найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси ОХ, нужно использовать метод цилиндров. Мы будем интегрировать по оси у для поиска объема цилиндров, которые образуют фигуру.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых у = x^2 + 1 и у = 2. Приравняем выражения и решим уравнение:

x^2 + 1 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки пересечения: (-1, 2) и (1, 2).

Теперь рассчитаем объем цилиндра, образованного вращением сегмента между кривыми y = x^2 + 1 и y = 2 вокруг оси ОХ. Обозначим этот объем как dV.

Радиус цилиндра (r) на каждом значении x равен разности между значениями у кривых в точке x:

r = 2 - (x^2 + 1) = 1 - x^2

Теперь рассчитаем дифференциальный объем dV цилиндра по формуле:

dV = π * r^2 * dx

Интегрируем dV по x от -1 до 1:

V = ∫[от -1 до 1] π * (1 - x^2)^2 dx

Выполним интегрирование:

V = π * ∫[от -1 до 1] (1 - 2x^2 + x^4) dx

V = π * [x - (2/3)x^3 + (1/5)x^5] |[от -1 до 1]

V = π * [(1 - 2/3 + 1/5) - (-1 + 2/3 - 1/5)]

V = π * [(8/15) + (8/15)]

V = π * (16/15)

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями x^2 = 2у - 1 и у = 2, равен:

V ≈ 3.351 м3

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы.