Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью(очень срочно): y''+3y'+2y=2x²-4x-17 y(0)=1, y'(0)=0

Answer 1

Однородное уравнение решается легко:
Характеристическое: k^2+3k+2=(k+1)(k+2)=0
y0= C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)
Теперь неоднородное.
y* = A1*x^2+A2*x+A3
y* ' = 2A1*x+A2; y* '' = 2A1
Подставляем
2A1+3(2A1*x+A2)+2(A1*x^2+A2*x+A3)=2x^2-4x-17
Система по степеням х
{ 2A1=2; A1=1
{ 6A1+2A2=6+2A2=-4; A2=-5
{ 2A1+3A2+2A3=2-15+2A3=-17; A3=-2
y* = x^2-5x-2.
Решение неоднородного уравнения
y = y0+y* = C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)+x^2-5x-2
y ' = -C1*e^(-x)-2C2*e^(-2x)+2x-5
Теперь решаем задачу Коши.
y(0) = C1+C2-2 = 1
y ' (0) = -C1-2C2-5 = 0
Получаем систему
{ C1 + C2 = 3
{ C1 + 2C2 = -5
Если из 2 уравнения вычесть 1 уравнение, то получим:
C2 = -8; C1 = 11.
Ответ: y = 11e^(-x) - 8e^(-2x) + x^2 - 5x - 2

Answer 2

Конечно, помогу вам решить это дифференциальное уравнение.

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, вы можете использовать характеристическое уравнение для определения общего решения. Характеристическое уравнение имеет вид:

r² + 3r + 2 = 0.

Решим характеристическое уравнение:

(r + 1)(r + 2) = 0.

Отсюда получаем два корня: r₁ = -1 и r₂ = -2.

Теперь, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C₁ * e^(-x) + C₂ * e^(-2x),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение для правой части уравнения (2x² - 4x - 17).

Поскольку правая часть является полиномом второй степени, частное решение предполагается в виде:

y_p(x) = Ax² + Bx + C.

Теперь найдем производные y_p(x):

y_p'(x) = 2Ax + B, y_p''(x) = 2A.

Подставим частное решение в исходное уравнение:

2A + 3(2Ax + B) + 2(Ax² + Bx + C) = 2x² - 4x - 17.

Теперь сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x:

2A + 3B + 2C = -17, 2A + 3B = -4, 2A = 2.

Решаем систему уравнений:

A = 1, B = -2, C = -7.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p(x) = x² - 2x - 7.

Теперь, для получения частного решения всего дифференциального уравнения, сложим общее решение и частное решение:

y(x) = C₁ * e^(-x) + C₂ * e^(-2x) + x² - 2x - 7.

Чтобы определить значения постоянных C₁ и C₂, используем начальные условия:

y(0) = 1, y'(0) = 0.

Подставим эти условия в уравнение:

1 = C₁ + C₂ - 7, 0 = -C₁ - 2C₂ - 2.

Решим эту систему уравнений:

C₁ + C₂ = 8, -C₁ - 2C₂ = 2.

Решением системы будет: C₁ = 4 и C₂ = 4.

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения:

y(x) = 4 * e^(-x) + 4 * e^(-2x) + x² - 2x - 7.

Приношу извинения за задержку в ответе, надеюсь, что эта информация будет полезной для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!