Question

√2cos(π/4-x/3)+1=0 решите пожалуйста

Answer 1

..........?................

Answer 2

Для решения уравнения √2cos(π/4-x/3) + 1 = 0 сначала перепишем его в виде cos(π/4-x/3) = -1/√2.

Затем воспользуемся тригонометрическим тождеством cos(π/4 - x/3) = cos(π/4)cos(x/3) + sin(π/4)sin(x/3), где cos(π/4) = 1/√2 и sin(π/4) = 1/√2.

Таким образом, уравнение примет вид:

(1/√2)cos(x/3) + (1/√2)sin(x/3) = -1/√2.

Теперь выразим cos(x/3) и sin(x/3) через тангенс половинного угла:

cos(x/3) = 1 - 2tan^2(x/6) / (1 + tan^2(x/6)), sin(x/3) = 2tan(x/6) / (1 + tan^2(x/6)).

Подставим эти значения в уравнение:

(1/√2)(1 - 2tan^2(x/6) / (1 + tan^2(x/6))) + (1/√2)(2tan(x/6) / (1 + tan^2(x/6))) = -1/√2.

Теперь избавимся от знаменателей и сократим на (1/√2):

1 - 2tan^2(x/6) + 2tan(x/6) = -1.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2tan^2(x/6) - 2tan(x/6) - 2 = 0.

Теперь сделаем замену: t = tan(x/6), тогда уравнение примет вид:

2t^2 - 2t - 2 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4 * 2 * (-2) = 4 + 16 = 20.

t = (2 ± √20) / 4 = (2 ± 2√5) / 4 = (1 ± √5) / 2.

Таким образом, получили два значения t: t₁ = (1 + √5) / 2 и t₂ = (1 - √5) / 2.

Теперь найдем соответствующие значения x:

1. t₁ = tan(x/6) ⇒ x/6 = arctan(t₁) ⇒ x = 6 * arctan((1 + √5) / 2).
2. t₂ = tan(x/6) ⇒ x/6 = arctan(t₂) ⇒ x = 6 * arctan((1 - √5) / 2).

Окончательное решение:

x₁ = 6 * arctan((1 + √5) / 2), x₂ = 6 * arctan((1 - √5) / 2).