Question

Найти геометрическое место точек |z-1-i|<1

Answer 1

Неравенство  $|z - 1 - i| \ \textless \ 1$ задает внутреннюю часть окружности радиуса  $R=1$ с центром  $1+i$ без границы.

Answer 2

Чтобы найти геометрическое место точек $|z-1-i|<1$, нужно найти все точки $z$ в комплексной плоскости, которые удовлетворяют этому неравенству.

Для начала, давайте рассмотрим абсолютное значение комплексного числа $z-1-i$:

$|z-1-i| = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$,

где $z = x + yi$ (где $x$ - действительная часть, а $y$ - мнимая часть числа $z$).

Теперь нам нужно найти все точки $(x, y)$, для которых $\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < 1$.

Для этого возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе стороны являются неотрицательными числами):

$(x-1)^2 + (y-1)^2 < 1$.

Теперь рассмотрим круг с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $1$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих данному неравенству, будет все точки, лежащие внутри этого круга, но не на его границе.

Таким образом, геометрическое место точек $|z-1-i| < 1$ - это открытый круг с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $1$.