Question

Найти полный дифференциал функции трех переменных: u=xz*tg√y

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

Чтобы найти полный дифференциал функции трех переменных u(x, y, z) = xz * tg(√y), нужно найти частные производные по каждой из переменных и затем записать полный дифференциал.

Для этого сначала найдем частные производные функции u по каждой из переменных:

1. Частная производная по x (при фиксированных y и z): ∂u/∂x = z * tg(√y)

2. Частная производная по y (при фиксированных x и z): ∂u/∂y = xz * d(tg(√y))/dy

3. Частная производная по z (при фиксированных x и y): ∂u/∂z = x * tg(√y)

Теперь найдем частную производную tg(√y) по y:

d(tg(√y))/dy = d(tg(u))/du * du/dy = (1/cos^2(√y)) * (1/2√y) = 1 / (2√y * cos^2(√y))

Теперь, подставим найденные частные производные в полный дифференциал:

du = ∂u/∂x * dx + ∂u/∂y * dy + ∂u/∂z * dz = z * tg(√y) * dx + xz * (1 / (2√y * cos^2(√y))) * dy + x * tg(√y) * dz

Таким образом, полный дифференциал функции u(x, y, z) = xz * tg(√y) равен:

du = z * tg(√y) * dx + xz * (1 / (2√y * cos^2(√y))) * dy + x * tg(√y) * dz