Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 120 см. Боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30 градусов. Вычислите высоту пирамиды.

Answer 1

Дана правильная четырехугольная пирамида.
Сторона а основания равна 120 см.
Боковое ребро с плоскостью основания образует угол α = 30 градусов.

Половина диагонали основания d/2 = (a/2)*√2 = 60√2 ≈  84,85281 см.
Отсюда находим высоту Н пирамиды.
Н = (d/2)*tg α = 60√2*(1/√3) = 20√6 ≈  48,98979 см.

Answer 2

Для решения задачи, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть сторона основания пирамиды равна a (в данном случае a = 120 см), боковое ребро равно b (мы ищем его) и угол между стороной основания и боковым ребром равен α (в данном случае α = 30°).

Теорема косинусов гласит:

b^2 = a^2 + h^2 - 2ah*cos(α),

где h - высота пирамиды.

Мы знаем, что у нас правильная четырехугольная пирамида, что означает, что все боковые ребра одинаковой длины. Пусть h1 будет высотой одного из четырех треугольных граней, а h будет общей высотой пирамиды (т.е. расстоянием от вершины до плоскости основания). Таким образом, h1 = h.

Теперь можно записать формулу для одного из боковых треугольников:

b^2 = a^2 + h^2 - 2ah*cos(α).

Подставим известные значения:

b^2 = 120^2 + h^2 - 2120h*cos(30°).

Так как все боковые ребра равны, можно записать формулу для высоты h:

h = h1 = b = √(120^2 + h^2 - 2120h*cos(30°)).

Теперь решим уравнение относительно h:

h^2 = 120^2 + h^2 - 2120h*cos(30°).

Разделим на h^2:

1 = (120^2)/(h^2) + 1 - 2120cos(30°)/h.

Теперь выразим h:

120*cos(30°)/h = (120^2)/(h^2).

Упростим:

h = (120^2) / (120*cos(30°)).

Вычислим значение h:

h = (120^2) / (120 * √3/2) = 120 * (2/√3) = 120 * (2√3/3) ≈ 82.31 см.

Таким образом, высота пирамиды составляет примерно 82.31 см.